基于GeoGebra的微积分教学案例设计与实现

基于GeoGebra的微积分教学案例设计与实现

谢爽

西南林业大学数理学院   云南昆明  650224

摘要： GeoGebra软件因其动态化的图形演示、丰富的函数功能、方便快捷的界面操作、多平台的系统兼容支持等特点，教师可以做出大量具有启发性、交互性、探索性的案例，深受学生欢迎。本文通过GeoGebra软件对微积分教学进行了一系列的改革和实践，分别围绕动态图形案例设计及其实现、数学定义案例设计及其实现、数学证明案例设计及其实现等三个模块构建教学案例。实践表明，通过GeoGebra软件进行探究式教学，极大的丰富了课堂教学资源，增加了课堂活跃度，提升了学生学习动力和学习兴趣。

关键词：GeoGebra 微积分 动态图形案例 探究式教学

    基金项目：本文由西南林业大学教研课题（课题编号：YB202007）资助

1引言

微积分课程因其定义概念过于抽象，教学内容艰涩难懂，定理证明复杂多变，计算方法层出不穷，学生基础参差不齐等因素，很多学生学习起来非常困难，导致学习热情不足，学习兴趣不高。如何通过形象化的语言，可视化的手段，动态化的工具，将抽象的定义变为可视化的案例，繁琐的计算化为生动的实践，从而提升学生的学习兴趣和学习效果，是我们需要研究和探索的。GeoGebra（Geometry（几何）+Algebra（代数））是一款集代数、集合、微积分和概率统计于一体的数学软件，因开源共享、操作简单、易学易用、动态演示、方便快捷等特点，深受师生的欢迎。本文通过在教学过程中使用GeoGebra设计动态化教学案例，并促使学生使用手机实践操作，丰富了课堂内容，减少了一些枯燥的推导和证明，学生对于数学的学习有了浓厚的兴趣，学习起来更加得心应手。

2 GeoGebra教学案例设计与实现

微积分课程教学内容非常多，我们仅列举部分比较有代表性的案例设计，通过案例设计，进一步体会到GeoGebra强大的功能，这对于枯燥乏味的数学教学是非常有必要的。

2.1 动态图形案例设计及其实现

微积分教学中，我们设计了几十个可视化图形案例库，包括数列极限、函数极限、导数、泰勒公式、定积分、偏导数、无穷级数等，下面我们以“Agnesi箕舌线”为例来进行演示。

例1 钟形的箕舌线可以按如下方式进行构造，构造一直角坐标系，圆的方程为，与坐标原点相交于点O，交y轴交于点Q，直线：上任选一点A，连接OA，与圆相交于点B，过点A的垂线与过点B的水平线相交于点P，当A沿直线运动时，点P的轨迹就是箕舌线。

如果我们使用手工作图，很难想象点P的变化情况，而GeoGebra可以很轻松的做出动态化的图形界面。

                  图1 箕舌线图形

图1中，拖动点A沿着直线运动，动点P运行的轨迹，即图中黑色的虚线，就是点P的图像，主要作图过程可以描述如下：

进一步我们假设线段AO与轴正向所成的角度为，利用解析几何的相关知识，可以求得箕舌线的参数方程为：，观察当参数位于区间，，时点P行进的方向。

在图1左边，我们利用GeoGebra中的复选框命令构造了4个不同的函数图像，分别是当位于区间，，时的函数图形，利用鼠标单击复选框，即可在右边显示对应区间的图形，通过图形的动态演示，我们可以更清楚的看到动点P的变化情况。

2.2 数学定义案例设计及其实现

微积分学习的核心就在于对于定义的理解和掌握，而微积分因其定义的抽象性、复杂性、严谨性和符号化语言等特点，学生理解起来非常困难，如果能够借助图形化的设计和展示，达到图形与数学语言的交汇，将大大提升课堂教学质量。实际教学中我们使用GeoGebra软件设计了大量的数学定义的图形化展示，这里我们以定积分的定义为例来进行演示。

例2（定积分定义）设函数在上有界，在上任意插入若干个分点，记，，每个小区间上任意取一点，则。

通过定义可知，若，即是函数与左右端点所围成的曲面梯形的面积，在实际讲授中，学生对于该定义理解起来非常困难，且定义中无论取何值，都不影响定积分的值，这一点更让学生不能理解，这里我们通过使用GeoGebra设计动态化图形演示，将抽象复杂的数学定义进行形象化的演示，真正达到数形结合。图形展示如下：

    图2 定积分的定义动态图形设计

图2中，我们在图形左边设计了三个输入框，用户可随意输入函数的表达式及左右端点，这极大的方便了课堂教学，教师可随意改变函数的表达式，右边对应的曲线也会相对应发生变化。图上面有一个关于n的滑动条，我们可以用鼠标向右拖动，随着n的变化，函数的分割也会随之变化。图右边我们设计了三个面积值，第一行为定积分的实际面积值，第二行为分割中的每一个小曲面梯形面积中左端点作为长来进行近似计算，第三行为分割中的每一个小曲面梯形面积中右端点作为长来进行近似计算，随着分割数量n的变化，右边的第二行和第三行的数值也会随之变化，我们可以更清晰的看到，当n越来越大时，左和与右和越来越接近于曲边梯形面积的真实值，由此可见，无论

取何值，当时，其值都是曲边梯形的面积。

3 总结

GeoGebra因其动态化的图形案例设计，丰富的函数功能，易于扩展的工具包，多平台的兼容支持等功能，同时支持手机端应用程序，给我们微积分教学带来了极大的便利性和操作空间。通过设计多样化的图形案例库，将数学中抽象的定义概念、复杂多变的数学计算、难以理解的数学证明等内容得以展示，激发学生的学习动力和学习兴趣。课堂中学生可以通过手机端GeoGebra应用程序操作，进一步活跃了课堂气氛，学生分析问题、解决问题的能力也得到了极大的提升。

参考文献

[1]姚卫红.处处连续且仅在一点可导的函数在微积分教学中的应用[J].高等数学研究,2021,24(06):4-5+3.

[2]魏海瑞,赵东红,孙芳.微积分教学融入课程思政元素探索[J].中国冶金教育,2021(04):90-92.DOI:10.16312/j.cnki.cn11-3775/g4.2021.04.025.