在比较中寻求合理，在取舍中凝聚精粹

在比较中寻求合理，在取舍中凝聚精粹

谢弦

南京市栖霞区教师发展中心      210000

【摘要】知识的发生和发展有其固有的规律，帮助学生理顺知识生长的茎和叶是我们老师的基本任务。引导学生参与概念的建立过程，以学生熟悉的事物为基本出发点设计教学过程，可以深刻体会概念产生的必要性，形成对概念较为完整的认识。

【关键词】概念教学 新课导入 情境教学 二次备课

近期，区里高中数学青年教师优质课比赛正在进行当中，14名教师分成两组，课中相互做评委打分评判，课后相互讨论优劣得失，气氛热烈超出预期，比赛收到了非常好的效果。其中《基本不等式》的设计和课堂操作带来诸多的话题，如何上好新课标中衔接内容的“预备课”，如何借用学生已有的知识发展新的知识体系，特别是如何利用学生熟悉的情境导入新课，都统统抛在年轻教师们的面前。以下将我们研讨琢磨的粗略过程和结果与同行们分享。

1  概念情境，呈现教学实录

A：上节课我们在学习研究等式及不等式的性质时，借用了赵爽设计的弦图，得到了重要不等式(当且仅当时，等号成立).提出问题并讨论

问题 1：不等式对任意的实数都成立吗？

问题 2：如果，用分别代替重要不等式中的，可得什么？

问题 3：还有没有其他证明基本不等式的方法？分组讨论证明基本不等式

问题 4：如图所示，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接，.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

问题5：重要不等式和基本不等式有什么联系与区别？

例题环节，讲解课本中的两个例题

例1.已知，求的最小值.

例2.已知都是正数，给出下面两个命题：

①如果积是定值，那么当时，和有最小值；

②如果和是定值，那么当时，积有最大值．

B：在前一节中，我们类比等式的性质，研究了一系列不等式的性质，结合实数大小关系的基本事实，它们是解决不等式的依据.

大家知道，等式学习中，数学家把一些常用等式总结出来，形成公式，如完全平方公式、平方差公式……方便大家进行代数运算，那么不等式中是否也有一些常用不等式也有类似的重要作用呢？事实上，之前的学习中已经出现了一个重要不等式：

问题1：如何证明上述重要不等式？（作差）

问题2：重要不等式左右结构是怎样的？（二次式）

问题3：如果我们用一个实数将重要不等式中a替换，用将b替换,能得到什么呢？

得到基本不等式：如果，则有恒成立（当且仅当时等号成立）

问题4：基本不等式左右结构怎样？（一次式）

2  集体研讨，寻找合理方案

大家认为：A方案围绕课本依据前文弦图事实，已经用比较法的思想阐述了重要不等式的结论，学生印象深刻，认识合理，但感觉太“循规蹈矩，照本宣科”；B方案类比等式中的恒等公式，提出不等式中是否也有一些恒成立的不等关系，也是很好的视角，轻巧的引入，符合学生认知，但总觉得在哪里“轻”了点。

总体感觉学生缺乏对这个恒成立不等式的终极印象，完全在教师的“引诱”下被动地“形式”接受。

本节课的内容选自人教A版必修第一册第二章第二节，属于预备知识范畴。我们在二次备课后，觉得有四处“不舒服”的地方需要打磨，与老师们商榷。

其一：老师们都采用课本“借用”置换的方法，将任意的数转换为正实数，形成根号形式的的符号系统，这样的操作方式感觉不是很自然顺畅，为什么要这样操作没有说清道理。

而像B方案开场说的，“重要不等式左右结构，左边两实数平方和，右边两实数乘积的2倍”，这就是说“左右齐次，都是二次式”。以其最后告诉学生“算术平均数不小于几何平均数”，不如在得到时，就定义算术平均数与几何平均数的概念，这样先把右边的2拉到左边，得到，这是二次式的“平均”，然后追问“一次式的平均不等式应当是怎样的呢？”这样很容易得到左边式是，然后再追问右边式怎样，学生自然会告诉你是，条件是都顺理成章了，这样操作远比“置换”自然和轻巧。

其二：A，B两个方案，都没提到“公式的变形”，我们非常遗憾，至少要“美学”地对待式子中的“2”和根式符号。

由，两边平方得到，区别于，为更深层地研究埋下了伏笔。

由，变形得到，即，再得到，两者有条件的区别。

再由，用置换得到，学生在此过程中学得了“数学的精粹”。

其三:例题的呈现，比赛中绝大部分老师都像方案A，B一样采用课本的原题，也有部分老师采用了苏教版的例题。比较人教A版和苏教版，我们更倾向于苏教版的方案。

例1：设为正数，证明下列不等式

此时在“玩”过基本形式的变形基础上，让学生更深层次地玩味“变形”的价值，体会数学逻辑的灵活推理，培养高一学生对数学的理解力和兴趣点，显得更有价值。因为多种组合的变形方式可以更好地吸引学生打开数学探究的万花筒。

组合1:

组合2: ,再用

组合3: ,再用

同时我们研讨觉得，不用课本例1：已知，求的最小值的道理在于，其一，学生对于最值此时还是初中函数的概念，而题干中本身没有函数，我们要建立；其二，我们要交代最小值的数学涵义，正如课本中解释的那样，要说明在定义域内存在自变量

，使得，其它对应的值都大于，这些概念会在后面学习函数时完整、系统地给予解释，没有必要在此展开；其三，看似简单，其实其间蕴含着构造的思想，即，此时是“巧合”，节后的练习中“已知，求的最大值”，构造的痕迹显得更明显。这些例题和习题过于提前，都应当归属到“基本不等式应用”的内容当中。

其四：在对教材的二次备课中，应当学会取舍，只有这样才能嚼得精华。其一，比赛中绝大部分老师都或先或后地解释了基本不等式的几何意义，此点教材的处理是放在探究内容里，有其合理性。其二，分析法是数学思维方式的重要内容，也是高中学生必须熟练掌握的思维角度，教材借助基本不等式的证明过程做了一点点尝试性的应用，但未说明其名称，没做总结和归纳。实际上，想讲清分析法的内涵，必须从命题的充要性的理论角度说起，需要系统地阐述，得花完整的课时解决。

因为本节课的核心内容应当是公式的变形或运用，而不是公式的意义或其它。所以我们认为本节课没有必要化时间为学生解释这两个方面，课堂教学过程中应当舍弃。

3 课后反思，体会以小见大

陶行知先生说过，教师在教学实践中要积极探讨最合理最有效的教育原则与方法，以促进学生自觉性之启发，创造力之培养。

3.1用学生熟悉的知识和概念讲数学，就是一条合理、有效的数学教学原则和方法。对《基本不等式》这节课情境展开方式的调整，旨在让学生明白我们为什么要研究基本不等式，我们怎么对不等式的结构进行变形，这样变形结构其内在的条件是什么。在教学过程中从学生过去学习的经验和熟悉的场景入手，循序渐进地引导学生开展学习，符合学生的认知规律和思维习惯，能很好地激发学生的求得新知的兴趣，为后续探究多元变量求最值等热点问题奠定良好的基础。

3.2数学知识的发生和发展有其固有的规律，帮助学生找到知识生长的茎和叶是我们老师的课堂基本任务。我们应当形成共识，发展学生的数学学科核心素养，绝不能依靠繁琐、割裂和杂乱的知识堆砌，更不能依靠那些追求细枝末节、训练解题技巧的题库，而是需要把数学学习构建成为引导学生理解核心概念的进程。

3.3这次比赛也暴露了当下年轻教师一个普遍的问题，他们设计课堂总是基于网络、囿于课本。对教材研读不够深刻，抓不住教学重点，只是想把书上说的教给学生。打破常规，整合教材，寻求适合学生的方式方法开展课堂教学很重要。当然这也需要经验的积累和专业思想的坚守，为此教研组内的集体研讨，教师间的经验互换就显得很有必要了。

参考文献

1 单墫 李善良.苏教版普通高中教科书·数学必修一[M].南京：江苏凤凰教育出版社