岳跃朝
一、 原题赏析
题目 (2022年高考全国甲卷理科第12题) 已知
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
随着新一轮高考综合改革新课标，新教材的落地实施，在《中国高考评价体系》的指导下，近几年的高考全国卷充分体现了立德树人、服务选材、引导教学的核心价值．上述题目就是立足新教材教学内容，近10年高考难得一见的好题．当高考结束，笔者第一时间看到此题，也觉得这是一道通过构造函数，利用导数工具研究函数单调性进而得到结果的函数导数综合题，只是构造起来颇不容易，将构造的思路和方法讲给学生，又很难讲明白为什么这样构造．当笔者回到高一讲授人教A版新教材必修第一册第五章三角函数的概念时，才认识到，原来这是一道从三角函数的单位圆定义出发引申得到的一系列清晰直白的不等关系的应用．
二、解法探究
区别于老教材，人教A版新教材中三角函数的定义，是从单位圆引出的，如图所示：
角
的三角函数定义为
．当角
为锐角时，
，
，
，
．根据长度、面积比较，我们可以看出有明显的下列不等关系：
面积比较：
；长度比较：
．
这里
，
，
，
，在直角
中，
，代入整理得不等式：
，
．即有如下不等关系：
， 
， （
）．…………（1）
解此2022年高考全国甲卷第12题，令
，有
，又
，故有
，选A．
三、教学反思
不难看出，上述从三角函数单位圆定义的角度出发的思路，直观清晰，立足教材，并契合学生认知实际，更容易构建完善认知结构．另外，此知识可以作为高一新课后的思考探究，也推荐在高三一轮概念复习课的后续延伸，都是课堂很自然的处理方式，学生理解接受起来也毫无违和感．
特别提醒，借助单位圆定义角的三角函数，是新教材相对于旧教材的创新之处，借助单位圆的处理三角函数间的性质与恒等变换以及本文中的不等关系，都更简洁直观，也是一个丰富的命题来源．
四、延伸拓展
根据不等式组，结合三角函数恒等式，可以延伸推导出如下不等式：
；
例1 当
时，证明：
证：由不等式
，得
．
例 2 （2021深圳二模22题节选）当时，证明：
．
证：由
，得
，
∴
．
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