高中数学核心素养下的“待定系数法”

高中数学核心素养下的“待定系数法”

叶雨

利辛县第二完全中学

摘要：待定系数法是高中数学中最常用的解题方法之一，贯穿整个高中数学，在函数解析式求解、轨迹方程的求解、定义新运算、材料分析求解、数学建模等具有广泛的应用。而待定系数法的选择，首先取决于题目中是否存在某种数量关系。

关键词：待定系数法；定义新运算；材料分析；数学建模

待定系数法作为一种基础求解方法在初中及高中都有重要的作用，既考察学生的数学运算能力，又考察学生的逻辑思维能力，以及对题目的理解能力。解题时，先设定系数，然后根据已知条件，通过相应的计算方法来确定所设的系数，这样的处理方法即为待定系数法[1]。在使用待定系数法时，首先要明确题目中是否存在某种确定的数量关系，又或者是否满足某种确定的数学模型。然后再利用题目中或建立起的数学模型中的数量关系来确定系数。

一、函数解析式求解

例1、已知二次函数满足，，且的最大值是，试确定此二次函数的解析式。

分析：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数解析式的形式[2]，选择规律如下：

已知：

1. 三个点的坐标——选用“一般式”
2. 顶点坐标、对称轴、最值——选用“顶点式”
3. 与轴两交点的坐标——选用“两根式”

【解】

解法一：（利用一般式）

设.

由题意得解得

所求二次函数解析式为

解法二：（利用顶点式）

设

抛物线的对称轴为

由题意知，函数的最大值是8，

解得，

解法三：（利用零点式）

由已知的两根为，

故可设，即

由题意知，函数最大值是8，即

解得或（舍）.

所求二次函数的解析式为

反思：对于明确知道函数类型的题目，我们可以直接设函数解析式，然后利用题目中的等量关系或经过的点，列出方程（组）进行求解，得到参数的值。

二、轨迹方程求解

例2、（2020新高考全国卷）（多选题）已知曲线：（）

.若则是椭圆，其焦点在轴上

.若则是圆，其半径为

.若则是双曲线，其渐近线方程为

.若则是两条直线

解析：

由曲线：，当，，曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故正确；

当，曲线：表示半径为的圆，故错误；

当曲线：表示双曲线，令，则其渐近线方程为，故正确；

当曲线：，即表示两条与轴平行的直线，故正确。

故选.

反思：求椭圆标准方程的方法

（1）用定义法求椭圆方程，要注意条件.

（2）利用待定系数法，首先确定焦点的位置，设方程为或，如焦点位置不确定，则可设方程为，而后列关于或的方程组求解。

练习（全国新课标卷）：已知圆圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程。

解析：由题意得圆心的轨迹为椭圆，设曲线的方程为

，，；则曲线的轨迹方程为。

三、新定义题型

例3、（2020全国卷Ⅱ）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期。对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标。下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）

....

解析：因为0-1序列的周期为5，所以，且.

对于：

，

不符合题意。

对于：，不符合题意。

对于：

，

，

，

，符合题意.

对于：，不符合题意。故选。

反思：《考试说明》要求：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理。就是要求学生能进行精准的运算，考查学生学科素养中“数学运算”。本题依托数列知识为背景，正确理解公式，借助待定系数法明确公式的含义，学生要根据算法和公式的要求，循序渐进的进行运算，进而考查学生的“逻辑思维能力”“数学运算能力”“数据分析能力”“数学建模能力”等。

四、材料分析题

例4、（教材习题改编）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中,是正的常数。如果在前5消除了10%的污染物，那么

（1）10后还剩百分之几的污染物？

（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1）？

分析：本题以生活实例为接入点，加强学生对数学知识的学习兴趣，也能培养学生爱护环境的意识，增强学生对知识的学以致用能力。本题关键是在于对公式的正确理解，寻求与设计合理的运算途径，每一步的变形都要有依据。首先要借助待定系数法求出公式中的常数,，考查学生的逻辑思维能力，数学运算能力，数据分析能力等。

解析：（1）当时，.

当时，,即，。

当时，，

即10后，还剩81%的污染物。

（2）设污染物减少50%需要花费，则有，两边取以为底的对数，

得。（），

即污染物减少50%大约需要花33。

反思：

1. 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
2. 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；
3. 利用该模型求解实际问题；
4. 解决实际问题时要注意自变量的取值范围。

练习（2020全国卷Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数。当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（）

.60.63.66.69

解析：由

，得。两边取自然对数，得

，结合得。故选。

五、结束语

在中学数学的学习过程中，待定系数法是我们学生最早接触到解决数学问题的方法之一，具有很重要的作用，尤其是在解题的过程中尤为常用。首先要如何判断题目是否适合使用待定系数法以及如何巧妙的使用待定系数法去解决题目中的问题就显得很关键，合理使用待定系数法可以优化解题过程将复杂的问题简单化。在高中数学教学过程中可以在平时的教学中进行渗透，但如何突破此方法以及此方法有哪些方面的应用和此方法在高考中如何体现，显然已成为学生的一大困境。本文就是以学生现有状况为出发点，结合当前高考命题形式进行总结论述，意在突破学生对待定系数法的掌握与理解，培养学生逻辑思维能力、数学运算能力、数据分析能力等学科素养。

参考文献：

[1]胡善俊.2020年高考数学文化试题赏析.《中学数学教学参考》，2021-01-10.

[2]罗开祥.二次函数---高考永恒的话题，《学园》；2014-06-30.