以问题串为媒解等腰三角形存在性问题课例报告

以问题串为媒解等腰三角形存在性问题课例报告

严锡军

浙江省兰溪市灵洞乡中心学校 321104

等腰三角形的存在性问题是各地中考数学的常见问题，常出现在压轴题或综合题中，属于难度较大且知识点覆盖广的一种题型。解等腰三角形存在性问题通常需要分类讨论，产生分类讨论的基本原因有腰长或底边不能确定和顶角或底角不能确定，其中在压轴题中经常需要根据几何图形之间的位置关系进行讨论。常见的方法有“两圆一线”模型法，“分情况讨论法”，“作等腰三角形底边上的高，用勾股定理或相似建立等量关系求解”。本文选取了几个典例，以问题串的形式引导学生解题，帮助学生养成一种以问题串为媒解决等腰三角形存在性问题的能力，然后让学生解决金华市2018年初中毕业考试24题，这也是一道有关于等腰三角形存在性问题的压轴题，从而让学生形成类比迁移，举一反三的数学基本素养。

一典例生成

【典例1】 如右图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P，Q分别为AB、BC上的动点，PB=CQ=x.求：当x为何值时，△PBQ为等腰三角形？

问题1：除了题目中已知的线段长度，还可以求出哪些线段的长度？

问题2：P，B，Q三点哪些是动点？哪些是定点？如果是动点，请说出运动的范围。

问题3：可以抓住哪个关键题眼进行分类讨论？

学生通过这三个问题的思考，形成了基本的解题思路，开始分三种情况进行讨论。一部分学生很快求出了第一种情况的答案，当BP=BQ时，x的值是2。对于另外两种情况，学生在求解过程中觉得比较困难，此时我继续以问题的形式引导学生去思考。

问题4：第二种情况当PQ=PB时，可以借助什么方法求线段长度？

问题5：如何添加辅助线去构造出相似三角形？

     学生通过问题4的思考，发现了这道题目可以通过构造相似三角形求出线段长度，然后在问题5的引导下，一部分学生就想到了用做垂线的方法构造出相似三角形。接下来就是学生自己求解的过程了。

问题6：第三种情况QP=QB和第二种情况PQ=PB有何异同？

     学生不难发现第三种情况和第二种情况只是点的位置不同，解题的思想方法是一致的，都可以通过构造相似三角形求出答案。

     本题以问题串的形式逐渐给学生呈现出六个问题，学生通过一步步去思考问题，从而形成完整的解题思路，解决了这一道题目。

【典例2】 如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B.设BD的长为x，如果△ADE为等腰三角形，求x的值.

问题1：根据∠ADE=∠B这个条件可以得到哪些结论？

问题2：通过你所得到的结论可以分哪几种情况进行讨论？

问题3：可以借助什么方法求线段长度？

通过这三个问题的思考，学生形成了以下思路：

由于∠AED>∠C，而∠B=∠ADE=∠C，则∠AED>∠ADE，所以AE

解析：     ∵∠AED>∠C，而∠B=∠ADE=∠C

           ∴∠AED>∠ADE，AE

           当DA=DE时，

           ∵△ABD∽△DCE

          当EA=ED时，

          ∵△DAC∽△ABC

   综上，当△ADE为等腰三角形时，x的值为0或2或3.5.

二迁移应用

（2018年金华初中毕业考试24题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F,G.

（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由. 

以下是学生分组讨论后所提出的问题，整理如下：

问题1：图中哪些线段的长度可以根据条件具体求得？

问题2：D、F、G三点属于定点还是动点？三点之间有何限制关系？

问题3：知道D、F、G三点都是动点后，可以抓住哪个关键点确定△DFG的位置？

问题4：当找到点D为关键点后，点D所在的位置有几种情况？

问题5：当△DFG的位置确定后，从哪个角度开展等腰三角形的分类讨论？

问题6：当确定某个位置两条边相等的情况下，通过什么方法可以求出腰长？

问题7：是否可以根据矩形条件得到的有关直线平行结论去构造相似三角形？

问题8：每种情况是否可以从同一个角度去构造相似三角形？

通过小组讨论，同学们都提出了很多问题，当把这些问题整理之后，学生发现解题思路已经在问题串中慢慢形成了。这一道等腰三角形存在性问题看似题目非常复杂，条件非常有限，不确定因素很多，但是学生以这样一个问题串的形式去剖析题目后，可以让整个题目信息串联起来，从而形成完整并且清晰的解题思路。以下就是学生形成的解题过程，顺利得把一道压轴题解决了。

通过两道典例生成和一道真题的迁移应用，把以问题串为媒解决数学问题的方法很好的融入进去。其中重点关注到学生如何去设计问题？从哪些地方开始提问？提怎样的问题？这就需要学生在平时数学学习中注重数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的积累，并运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力。在教师合理引导和学生自主探索的教学环境下，学生的提问能力和解题能力都会有质的飞跃。