椭圆及其标准方程教学案例分析

椭圆及其标准方程教学案例分析

何平

云南省昭通市镇雄县第一中学  邮政编码：657200

一、学习目标

1.理解椭圆的定义； (重点)

2.掌握椭圆标准方程的建立和推导过程；(难点)

二、核心素养

1. 借助椭圆标准方程推导过程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养；

2. 通过椭圆标准方程的有关问题学习，培养学生的数学运算核心素养.

三、教学过程

（一）、学情分析: 摸清学生课前自主学习的情况. （2分钟）

教师（启发，示范，指导）

通过PPT呈现两个问题：

1、用一个平面截圆锥，改变圆锥的轴与截面的角，可以得到不同的截口曲线，它们分（1），（2），    （3），（4），（5）.其中，，三类曲线统称为圆锥曲线.

2、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点，叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为.

学生（自主学习，合作探究）

1、同桌（相邻）学生两人一组，相互汇报学习成果；

2、课代表汇报课前学习成果.

行为分析

教师通过两个问题把握学情，了解学生知识储备，精准确定本堂课的适切目标，灵活调整教学内容和选择恰当的教学方法.

（二）探究活动（3分钟）

教师（启发，示范，指导）

(1) 明确探究任务 提出问题：椭圆是怎样画出来的？课本第105页“探究”.

(2) 教师待学生探究活动结束后，通过提前准备好的微课动态演示探究活动，呈现画出椭圆的过程.

(3) 教师引导学生观察椭圆，直观想象椭圆的对称性(2条对称轴)，对称中心（两条对称轴的交点）.

学生（自主学习，合作探究）

（1）学生拿出提前准备好的实验器材（图版，图钉，一条定长细绳，铅笔），按照教材的实验步骤完成探究活动，组内两人交替进行.

(2)学生自主画出椭圆，亲身体会椭圆生成的过程.

(3)指导观察椭圆，直观想象椭圆的对称轴(2条对称轴)，对称中心（两条对称轴的交点）.

行为分析

(1)利用探究活动，激发学生学习的兴趣，培养学生自主探究的意识和直观想象的核心素养.

(2)为探究理解椭圆的定义做好了准备.

（三）椭圆标准方程的建立（教师讲解15分钟，学生学习交流10分钟，共25分钟）

教师（启发，示范，指导）

（1）提出问题：椭圆的定义是什么？它的方程又是什么？

（2）教师启发学生根据椭圆的对称性建立合适的坐标系，并利用PPT呈现：以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，O为原点的直角坐标系.

 （3）教师引导学生分析椭圆的定义，设出椭圆上的动点的坐标，并假设椭圆的焦距为，进而得到，。

（4）教师引导学生分析椭圆的定义，启发学生分析动点满足的条件，列出椭圆是点集：

.（1）

教师通过板书演示并讲解：

代入坐标、列方程，化简方程呈现如下推导椭圆方程的完整过程：

由（ 1 ）得

. ( 2 )

为了化简( 2 )，移项，得

.  ( 3 )

对方程（ 3 ）两边平方，整理得

. ( 4 )

对方程（ 4 ）两边平方，整理得

. ( 5 )

由( 5 )可得

.( 6 )

由椭圆的定义可知,>>0,即>>0,所以>0.

令 .那么方程( 6 )即为

(>>0).   ( 7 )

由于以上从方程( 2 )到方程( 7 )的变形都是同解变形,这样,椭圆上任意一点的坐标都是方程( 7 )的解,反之,以方程( 7 )的解为坐标的点与两焦点的距离之和为,即以方程( 7 )的解为坐标的点都在椭圆上,

我们称方程 (>>0)为椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上,两焦点分别是的椭圆，这里 .

若取过焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系.

同理可得:

焦点在轴上,两焦点分别是的椭圆的标准方程是

  (>>0).  (这里) .

(5) 教师待学生总结椭圆标准方程过程中的难点与重点后，总结如下几个关键的地方：1、求曲线方程的方法（建系，设点，列式，带点（坐标），化简方程，证明（说明）；2、方程的同解变形（等价转化思想）；3、运算过程中始终保持良好的形态，细心地运算.4、令的意义.

学生（自主学习，合作探究）

（1）学生交互学习

同桌（相邻）学生两人一组，相互讲授椭圆标准方程的推导过程.

(2) 学生自主发言，总结椭圆标准方程推导过程中的方法.

学生可能遇到的困难突破：

我承担两个班的教学工作，一个实验班，学生基础较好，一个普通般，学生基础一般；指导实验班学生学习，我启发学生选择合适的坐标系，并通过PPT展示，设出椭圆上的动点的坐标，并假设椭圆的焦距为，进而得到，。

（3）教师引导学生分析椭圆的定义，启发学生分析动点满足的条件，列出椭圆是点集：

.（1）

推导椭圆的方程的过程交给学生自己完成，直到令的时候，我才参与指导.

实验班学生已经有了曲线与方程的知识基础，他们不仅能够自己推导椭圆的标准方程，而且能够结合曲线与方程的定义加以正确理解.

我通过巡视、观摩、指导，实验班学生大多数学生能够在规定时间内达到学习目标，我为少数几个没有完成推导任务的同学指定了辅导老师（同学），由他们在课后帮助完成.

普通班学生基础一般，实验班学生能够完成的任务，普通班学生不能完成，我依据因材施教的教学原则，先在黑板上板书推导椭圆标准方程的完整过程，学生观摩，理解，学生明白了推导的方法与过程以后，我再让学生独立完成推导过程，亲身体验数学学习的乐趣；最后我安排小组的两人相互展示推导过程，我通过巡视，学生学习积极性极高，学习效果良好，75%学生能够在课堂上达到学习目标.,不能完成的学生，我采用指定“辅导老师”课后辅导，帮助他们达到学习目标.

行为分析

（1）教师逐级引导启发学生，

有利于学生对概念，定义的深刻理解，为学生深度学习知识奠定基础.

（2）根据学生实际和学情，对于学生难以完成的学习任务，教师启发学生理解，切实示范，引导学生理解知识的来龙去脉，有利于提高学生的学习效率.

(3) 在教师示范讲解后，学生交互学习，表明教学不能单凭教师讲授，更需要聚焦学习过程，只有如此，才能实现学生从知识的浅层理解过渡到深度掌握的核心目的，课堂从“灌输课堂”走向“创意课堂”

（4）学生自主发言，总结学习过程中的心得体会，有利于促进反思，构建知识架构和方法提炼与内化.有利于培养学生数学思维能力.

（5）通过小组交互学习，促进小组成员间的合作与交流，汇报学习成果，有助于集体智慧的沉淀于分享.

（四）学习评价（8分钟）固本探新，初试身手

教师（启发，示范，指导）

(1)教师利用PPT呈现4个练习题，当堂检测学生学习效果.

1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A   4.  B   5.  C   8.  D   10.

2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

3．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋x2＝1

4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．

答案：（1）. (2). (3). (4)－1或－.

学生（自主学习，合作探究）

(1)学生自主练习.

(2) 学生板书答案,汇报学习成果.

(3) 针对学习效果自评与互评

行为分析

（1）通过4道小题测试，学生自主练习，实时展示和分享过程性学习成果.

（2）通过检测和自评互评，为学生创造自我反思与自我认知的机会，激励学生在学习活动中学会欣赏和学习他人的长处.

（3）促进学生对学习成果的批判性思考和深度互动.

（4）体现以学生为中心的理念，注重学习的过程和学生的实践和体验.

（5）教师及时掌握学生的学情，为设计后面的教学活动提供科学的依据.为教学策略调整和差异化学习指导提供依据.

（6）丰富了测验和练习的活动形式.

学法指导及分析：

实验班学生能够轻松的解决这些问题，我会安排他们自主学习课本第107页的例题1；

普通班学生，我通过巡视，多数学生不能完成第4题，我并没有当堂为他们讲解，而是让他们课后继续思考，第二天的课上我会抽人回答，孔子说：“不愤不启，不悱不发”。

（五）课堂小结(2分钟)

教师（启发，示范，指导）

教师利用PPT呈现，学生作答，总结所学知识.

椭圆的定义  平面内与两个定点，的距离之和等于常数

（ > ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点，叫做椭圆的，

叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为.

1．思考：

(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

2．椭圆的标准方程

学生（自主学习，合作探究）

学生整体回答，巩固所学知识.

行为分析

(1)课堂结尾的内容小结，以问题的形式提出，有利于帮助学生升化对内容的理解，巩固所学知识.

(2)课堂结尾才提出两个“思考”，并不要求学生能够当堂作答，目的在于学生课后思考，升化对椭圆的定义有更完整、更深刻的认知.

(3)通过小结，帮助学生达成学习目标..

(六) 课外作业

教材第109页练习：1，2两题.

行为分析

(1)通过课外作业，帮助学生巩固、消化和运用所学知识，提高学习技能.

(2)培养学生独立思考和独立工作的能力以及独立学习的习惯.

(3)培养学生的自制力和责任心.

有利于教师获得学生学习的反馈信息，反思教学，改进教学，提高教学效率.

（七）板书设计

学生学法指导（难点突破）：

我承担两个班的教学工作，一个实验班，学生基础较好，一个普通般，学生基础一般；指导实验班学生学习，我启发学生选择合适的坐标系，并通过PPT展示坐标系，引导学生自主设出椭圆上的动点

的坐标，并假设椭圆的焦距为，进而得到，。

我继续引导学生分析椭圆的定义，启发学生分析动点满足的条件，列出椭圆是点集：

.（1）

以后推导椭圆的方程的过程交给学生自己完成，直到最后

令的时候，我才参与指导.实验班学生已经有了曲线与方程的知识基础，他们中的大多数学生不仅能够自己推导椭圆的标准方程，而且能够结合曲线与方程的定义加以正确理解.

  我通过巡视、观摩、指导，实验班学生大多数学生能够在规定时间内达到学习目标，对于少数几个没有按时达到学习目标的同学，我为他们指定了“辅导老师”（成绩好的同学），由他们在课后帮助完成，我会在下一节课前了解他们的学习情况.

普通班学生基础一般，实验班学生能够完成的任务，普通班学生不能完成，我按照因材施教的教学原则，我采用讲授、示范与学生观摩、模仿的方法来突破这一学习难点，具体是，我先在黑板上板书推导椭圆标准方程的完整过程，学生观摩，理解，学生明白了推导的方法与过程以后，我再让学生独立完成推导过程，亲身体验数学学习的乐趣；最后我安排小组的两人相互展示推导过程，我通过巡视，学生学习积极性极高，学习效果良好，75%学生能够在课堂上达到学习目标.,不能完成的学生，我采用指定“辅导老师”课后辅导，帮助他们达到学习目标.

教学设计说明：

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习双曲线和抛物线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。