借助线段图分析  探寻问题的本质——“植树问题（两端要栽）”教学片断与思考

借助线段图分析  探寻问题的本质——“植树问题（两端要栽）”教学片断与思考

吴建清

东莞市中堂镇第四小学  523220

《数学课程标准（2011年版）》把几何直观作为核心概念之一，并且指出：在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。我在教学“植树问题”时注重引导学生借助线段图进行分析，在直观理解的基础上解决问题。下面结合“植树问题（两端要栽）”教学片断，分享教学引导学生画线段图分析理解的过程，从而培养解决问题能力的一点思考。

片断一：说一说，发现植树问题与分段的关联

课件出示：把一条长15米的绳子平均分，每5米分一段，能分成几段？

师：请根据题意画出线段图，并列式解答。

展示学生答案。

师：你为什么用除法算？

生：求能分成几段就是求15里面有几个5，所以用除法算。

（谈话揭示课题）

课件出示：例1 在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？

指导学生理解题意，尝试列式。

生：100÷5=20（棵）

生：100÷5+2=22（棵）

师：为什么你们第一步都用100÷5？

生：因为都要求100里面有几个5，所以都用100÷5。

师：可见这个问题与复习的分段问题有相同的之处，我们也可以用画线段图来验证一下。

【思考】课始，教师让学生复习分段问题，并引导学生找到植树问题与分段问题的联系，为进一步学习打下迁移的基础。

片断二：画一画，探索植树问题的规律

课件出示：

学习单

在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？

画一画：用你喜欢的图案在小路上画树。

数一数：有（  ）个间隔，有（  ）棵树。

师：请同学们读一读“学习单”。

师：下面请大家先画图，数一数有几个间隔，栽了多少棵树。然后想想怎么列式计算，并看看能不能用图解释。

学生独立完成，教师巡视收集作品。

师：我们一起来看看这些同学的作品。

出示作品1：

师：这样画可以吗？为什么？

生：不可以，因为题目说两端要栽，他没在两端栽。

老师改为：

师：那改成这样可以吗？为什么？

生：不可以，每两棵树的间隔不都是5米。

出示作品2：

师：同学们请看，这样画对吗？

师：我们来检查一下，5米，10米，15米，20米，画4段刚好20米，两端都栽，种了5棵树。

出示作品3：

师：你们认为这样画可以吗？（有的学生说可以，有的学生疑惑地摇头）

师：请画这个同学说说你是怎样想的呢？

生：我是用一条线段表示小路，用一个点表示树的。

师（范画线段图填表）：很好！用这样线段图表示，你觉得怎样？

生：用线段图表示更简洁。

师：同学们，在数学中有很多问题能通过画线段图分析解决的。下面我们再来试试。

课件出示：

       小组合作要求

1.每人独立画一个长度的线段图。

    2.数出间隔数和棵数，并填在粉红色纸的汇总表里。

    3.观察汇总表，小组讨论：你发现了什么？

汇总表

师：请同学们读一读“小组合作要求”。

师：组长分配任务后独立完成，然后小组汇总交流。

教师巡视指导。

指名一个小组汇报（边说，边贴线段图、填表）。

师：谁能说说，你发现了什么？

生：我发现了总长÷间隔长=间隔数

师：你是从哪里发现这个关系的呢？

生：表中不同的路总长除以间隔长都等于间隔数。如20÷5=4，15÷5=3，10÷5=2，25÷5=5，30÷5=6

师：为什么要用除法呢？

生：因为求10米小路有几个间隔就是求10里面有几个5，

……

师（指着线段图说）：回答得真好！其实间隔长就是每段的长度，有几个间隔就是分成几段。所以总长除以间隔长等于间隔数。

师：你还发现了什么？

生：我发现了棵数比间隔数多1

师：这是很厉害的发现呀！你是从哪里发现棵树比间隔数多1呢？

生：表中不同的路长的种树棵数都比间隔数多1。如4+1=5，2+1=3，3+1=4，5+1=6，6+1=7。

师：你能从这个图里说明为什么棵树比间隔数多1吗？

生：2棵树之间有1个间隔。

师：你观察得真仔细！（指着线段图说）3棵树之间有2个间隔，4棵树之间有3个间隔。

生：一棵树对应一个间隔。

师：你能上来指一指吗？以总长20米为例。

生：第1棵树紧接着这个间隔，第2棵树对应这个间隔，第3棵树对应这个间隔，第4棵树对应这个间隔，最后一棵树，没有间隔和它对应，所以棵树比间隔数多1。

师：说得真好！请你能像他那样指着自己画的线段图说一说。

师：通过线段图我们发现：两端要栽，棵数总比间隔数多1。你会说间隔数与棵数之间的数量关系式吗？

生：间隔数+1=棵数。

【思考】本环节通过对学生的不同作品进行对比、质疑，引出用线段图表示更简洁。并通过线段图进行分析，理解“两端要栽，棵数总比间隔数多1”。

片断三：疏一疏，追寻植树问题的本质

师：其实植树问题中，间隔数与棵数的关系就是点与段的关系。

师：1段有几个点？

生：1段有2个点。

师：2段几点？

生：2段3点。

师：3段几点？

生：3段4点。

……

课件依次出现：

师：你们发现了什么？

生：点比段多1。

师：树是在点上的，点总比段多1。有几个点就是有几棵树，有几段就是有几个间隔。所以，两端要栽，棵数比间隔数多1。

【思考】本环节通过疏理，让学生发现间隔数与棵数的关系就是点与段的关系。树是在点上的，点总比段多1。有几个点就是有几棵树，有几段就是有几个间隔。所以，两端要栽，棵数比间隔数多1。直击植树问题的本质。

师：生活中还有像植树问题中这样，把什么东西放在点上的现象吗？让学生想一想，指名说一说。

师：路灯排列中，你能找到这里什么是在点上？什么是间隔吗？

生：路灯装在点上，两个路灯之间的距离是间隔。

师：下面，让我们用“两段的简图”来解决生活中的实际问题吧。

出示第1题：马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？

师：想一想，梧桐树是在哪里？银杏树又在哪里呢？请先尝试画“两段的简图”分析，再解决问题。

学生独立完成，集体评议。

师：你是怎样想的？

生：通过画图发现，梧桐树是在点上的，银杏树是在段上的，3棵梧桐树中间有2棵银杏树，可见银杏树棵数比梧桐树少1。知道有25棵梧桐树，要求银杏树的棵数。列式是25-1=24（棵）。

师：看来画“两段的简图”分析更简便。再来试一试吧？请完成第2题：五路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是2km。一共设有多少个车站？

学生独立画图解答，集体评议。

师：你是怎样想的？

生：通过画图发现，车站是在点上的，2段有3点，点比段多1，两端都要设车站，车站个数比间隔数多1。先求出总长里有几个间隔，12÷2得6个间隔，再用6+1得7个车站。

【思考】通过引导学生画“两段简图”进行理解分析，为后面学习只栽一端和两端不栽的植树问题打下坚实的基础。