类比之渔——初中数学有效类比思想培养的案例实践研究

类比之渔——初中数学有效类比思想培养的案例实践研究

陈卫丽

浙江省杭州市萧山区党湾镇初级中学   311221

【摘要】类比就是依据两个对象的相似性，将原对象的特殊知识引用到新对象上去，获得新对象的特殊知识。本文从初中生的认知能力出发，在教学中进行实践研究，从概念和规则的新授课，到习题课，再到单元复习课，最后是课程整体内容，试图让学生学会、会学、乐学，促进学生数学核心素养目标的达成。

【关键词】 初中数学    类比思想      实践

一、研究缘起

1.错例在目

错例1：七年级教学时，教师在课堂提问或作业批改中经常会遇到学生有例如a> -b，这样的结论。可见，在数的扩充学习中，由于已学自然数的概念对有理数和实数概念的类比负迁移影响，以致学生认为a 和b 都是正数。

错例2：初中数学规则教学中，完全平方公式学生经常写成，这是由于受到分配律a (b +c )=ab +ac的类比负迁移。同样的负迁移影响还有例如，等。

错例3：解不等式：6x-1>9x-4 ⇒ -3x>-3 ⇒ x>1。解此类不等式的时候，因为受到前面等式性质的负迁移，容易忘记改变不等号方向。

2.错例溯源

（1）论地位：初中数学较多知识都是从容易到困难、从浅显到深入、从简单到复杂，知识点繁多抽象，方法多样。涉及的概念、性质、定理、和解题方法都要求学生具备一些数学思维，类比是其中运用普遍有效的思维方式之一。波利亚说过：“类比是一个伟大的引路人”。如果在教学的过程中，教师能采取有效的教学措施，恰当运用类比，不仅可以促进学生新知识的掌握和灵活运用，也能促进学生体验研究的过程和方法，还能让学生学得轻松高效。

（2）析现状：当然，现阶段很多教师在相应内容的课堂上都会采用类比的方法。但是从日常教学来看，类比教学存在着诸多问题：相似知识点混淆；仅注重知识，不注重过程和方法；把某个对象的特殊情况硬推到另一个对象上，出现“类比不当”，或“机械类比”等等。因此，探寻有效地培养学生类比思想的研究举足轻重。授之以鱼不如授之以渔，引导学生对社会任何事物的探究，对学生类比思想的培养和提高数学素养有重要意义。

（3）展研究：基于现状，本人认为类比思想可以从以下四个阶段培养：首先，在教授新知识时，应有意识地引导学生通过类比方法导出新知识，以此让学生掌握类比的方法。其次，在解题教学中，引导学生通过类比寻找解题的思路和方法，达到对新知识的深化理解，从而熟悉类比的方法。再次，在进行阶段性复习时，可以把相关的内容进行类比，让学生养成类比的习惯。最后，教师引导学生认识课程整体内容的研究路径，方法共性，让类比思想根深蒂固。

二、核心概念的界定及研究框架

类比思想：在初中数学教学中有很多相似的知识点和探究方法，把这种相似的知识点进行分析、比较、联想及推导、概括，将原对象特殊性质和方法引用到新对象上去，从而获取新对象的性质和方法。

研究框架：

三、实践研究

（一）播种——关于新授课中类比思想的运用

1.类比在概念形成中的运用

初中数学涉及的概念比较多，而有些概念与已学某个概念在属性或结构上有相似关系。此时教师运用类比进行教学是一种有效的教学手段。在新旧概念的关联节点上进行类比，在类比中形成新概念，使学生提高学习数学概念的效率，从而有效理解概念的本质意义。

（1）从概念的形成过程上类比

案例：八上《5.3一次函数》中

环节一：类比方程，感悟方法

1.请回忆学习过的方程的类型及它们的概念。

2.请尽可能多的写出二元一次方程。

3.请概括出二元一次方程的一般形式。

环节二：体验生活，归纳概念

1.写出下列过程中变量之间的函数表达式。

（1）小明一家准备自驾游，出发前发现油箱中只有10L 油，如果加油站油枪流量为30L/min，则油箱中的油量y(L)与加油时间x(min)之间的函数关系式。

（2）某日某地的气温为10℃，小明一家登山，海拔每升高1km气温下降6℃，则所在高度的气温y与上升高度x之间的函数关系，若登山前气温为0℃呢？

（3）小明旅游中途径一水池，若原有水500m³，排水速度每小时10m³，水池中还有水量Vcm³与排水t 小时的函数表达式。

（4）小明爸爸的手机套餐：市内电话的月收费额y包括月租费28元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min）的函数表达式。

2.这些函数关系中的自变量分别是什么？从它们的次数考虑，有什么共同特征？如何把这些函数分类？

3.类比二元一次方程表达式的抽象概括过程，你能将上述式子用一个一般形式概括吗？

点析：方程是描绘现实世界数量关系有效的数学模型，与函数有着本质的关联。此环节一：设计三个任务来引导学生回顾一次方程概念，体验概念的归纳形成过程，环节二：类比二元一次方程概念的形成过程，从生活实际抽象出表达式，再抽象出一次函数的一般式。这样形成过程相似的概念还有很多，例如七上第三章《实数》中“立方根”与“立方根”两个平行的概念，可以借用平方根的有关概念的形成过程进行类比，利于概念的形成与区分。

（2）从概念的形式上类比

案例：八下《4.3中心对称》中

点析：初中数学中的一些概念，学生单一去记忆就会觉得枯燥无味且难以记住。倘若运用类比引导学生记忆形式上相似的概念，比如轴对称图形与中心对称图形，轴对称与中心对称就会达到比较好的效果。

2.类比在规则生成中的运用

（1）数与代数领域的类比

案例：七上《4.5合并同类项》中

（1）运用运算律计算下列各式：

①54×6＋46×6

②54×62＋46×62

③54×6×7＋46×6×7

（2）能不能像（1）那样得到简洁的结果？

①54×a＋46×a

②54＋46×

③54×a×b＋46×a×b

点析：七上第四章学生刚刚开始接触抽象的代数式，以熟悉的数的运算作为跳板，很容易通过类比得出结论。这样揭示出新知识不会显得突兀，减少学生对学习新知识的恐惧，反而还会让学生产生果真如此的想法，收获意料之外的学习兴趣。同时，通过合理的推理将新旧知识联系起来，加以对比猜想，最后验证。这样的过程有助于学生建立系统的知识框架，潜移默化地开拓了思维，培养了学生自主学习的能力。

（2）图形与几何领域的类比

性质定理内容的呈现都遵循着几何教学的一般方法与规律，即呈现“操作—猜想—验证—证明—应用”的过程。在教学中注重同一研究方法在不同几何图形教学中的类比，有利于学生做到举一反三、拓展思维、发展潜力，并从不同角度来理解数学规则，提升学生直观想象和逻辑推理等核心素养。

案例：八上P18“三角形内角和等于180度”证明

点析：类比剪拼、折纸的直观操作过程，作平行线将三角形的内角转化为一个平角，验证猜想，得出定理。在八下《4.1多边形》中，可类比三角形内角和的证明方法，学生自然想到把四边形转化为三角形来解决，推导得到四边形内角和定理。

（二）生根——关于习题课中类比思想的运用

数学习题是数学思想方法的生长点，是数学知识的载体，讲解习题蕴涵着巨大的教育潜能。然而，当前习题课存在诸多问题，特别是教师讲解采用一讲到底的模式，就题论题，直指习题的正确解法或答案，忽视学生数学思维能力的培养，更别说促进学生学会学习了。这就需要老师把同类型的习题联系起来，举一反三。因此，教师要引导学生用联系的观点看问题，让学生利用类比推理调动之前学过的知识与方法，使学生解决问题的效率通过类比推理的运用得到显著提升。

1.知识本质类比

案例：八上《一元二次方程》中的习题

假设参加同学会的每位同学都需要和其他同学各握一次手，统计一共需握手56次，则参加的同学有多少人？此题可以类比七上第六章“如果一条线段上有n个点，则共有几条线段？

点析：学生在学习线段的基础上，通过类比，握手问题就显得得心应手。进行类比教学时，不但要多找事物之间的相同点，而且应找本质的相同点，既要注意问题的个性，更要注意问题的共性，达到类比教学灵活应用。

2.题组变式类比

案例：八下《5.1矩形》中的习题

母题：如图，在矩形ABCD中，BC>AB，E是AD上一点，把沿着BE折叠，点A与线段CE上的点F重合，连接BF，求证：BC=EC

变式一：如图，在矩形ABCD中，E是线段BC上一点，且AE=AD，DF垂直AE于点F。求证：CE=FE（八下书本P115习题）

点与线段CE上的点F重合BF。

（1）求证：

（2） 设=m，①若=，试求的度数。

②设=，试求与满足的关系式

点析：变式一是书本课后习题，它与母题相当于互逆的关系，母题已知折叠（即全等）要求证等腰，变式一已知等腰，要求证全等。但是变式一需要添加辅助线，对学生有一定难度。因此教师可以先设计母题作为铺垫，再设计变式二进行综合拓展。学生通过不断类比探究解题途径，提升数学逻辑思维能力。

（三）开花——关于单元复习课中类比思想的运用

1.单元内类比

案例：七上第六章《图形的初步知识》复习课

一、本源回溯

问题1：（1）研究图中线段的总数，并完成下表

（2）研究图中角的总数，并完成下表

问题2：

（1）上图1中，点C、D都在线段AB上，则AD=+ = - 。

（2） 上图2中，在∠ AOB 内部引两条射线OC、OD，则∠ AOD= ∠ + ∠ = ∠ - ∠ 。

问题3：

（1）已知线段a，b，作2a-b。

（2）已知，作。

二、问题初探

（1）如果点C在线段AB上，点D、E分别平分线段AC、CB ，设AC=x，BC=y，求DE 的长，并探究DE与AB的数量关系。

（2）射线OC 在∠ AOB 内部，射线OD、OE 分别平分∠AOC、∠BOC，若∠AOC=x，∠BOC=y，求∠DOE的度数，并探究∠DOE与∠AOB的数量关系。

三、问题追寻：

（1）问题初探（1）中，若点C在直线AB 上时，探究DE与AB的数量关系。

（2）问题初探（2）中，若射线OC 在平面上时，探究∠DOE与∠AOB的数量关系。

点析：通过类比的方式对线段与角的知识内容重新进行整合，让学生进一步感知数学知识之间的联系与区别，形成数学知识的逻辑体系，同时感知知识的学习具有相似的路径，对后续几何内容的学习作铺垫。

2.单元间类比

案例：

点析：类比一元一次方程来复习一元一次不等式，既复习了旧识，也回顾了新知，同时理清了两者之间的联系与区别。

（四）结果——关于课程整体内容类比思想的运用

1.数与代数：

（1）数与式

初中“数与式”是数与代数领域的基础内容，从有理数—实数-代数式-整式—分式，这部分内容涉及的概念多、知识点多，通过对有理数的类比学习，理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数。通过类比数的运算，抽象出单项式运算法则。通过类比数的知识线，来研究抽象的代数式。这样的过程有助于建立系统的知识框架，且潜移默化地开拓了思维，培养了自主学习的能力。

（2）方程（组）与不等式（组）：

方程和不等式都是用来研究数量关系的数学模型，既有区别又有联系，若能加强它们之间的类比，则会收到事半功倍的学习效果。同时不同类型的方程，它们的研究思路也是相似。

（3）函数：

案例：八下《6.2反比例函数的图像和性质》中教师可以引导学生：

1.回顾一次函数的学习路径是怎样的？（概念—图像—性质—应用）

2.学习了反比例函数概念后，类比一次函数的学习路径，接下去学习什么？

3.画反比例函数的图像，回顾画函数图像的步骤有哪些？类比一次函数图像的研究过程，

2.图形与几何：

几何研究：点—线—角—三角形—四边形—圆

（五）施类比之肥——类比思想的培养准则

1.以相似为基础

本文开始错例在目中的例子都是学生错误地运用了类比的相似性，这一系列的类比负迁移在学生的知识经验当中是根深蒂固的。教师应当帮助学生克服机械类比而产生知识的负迁移，适时指出一些容易混淆的概念和规则的类比而导致的错误结论，从而认识问题实质。

2.以学生为主体

类比思想在创造性思维中居于重要地位。初中数学教学必须重视培养学生的类比思想，而培养学生的类比思想必须以学生为主体，从学情出发，让学生体验类比的过程，只有围绕学生的学为中心组织指导，才能激发学生火热的思考。授之以类比的研究方法，而非仅仅授之以类比知识。

3.以实践为保障

利用类比方法容易分清新旧知识的联系和区别，深刻地理解概念和规则的实质，但是易发生定式思维的错误，要避免生搬硬套。因此，必须以实践为保障对学生进行类比推理能力培养。教师要引导学生注意问题的共性和个性。教师对学生在类比过程中做出的猜想，要适时指导和评价。

4.以充分为立足点

数学是一门具有严密逻辑性、高度抽象性和广泛应用性的学科。那么，在运用类比推理进行研究时，基于数学知识严密逻辑性的需要，必须对类比两个对象的各方面都进行比较。因此，在对学生进行类比推理能力培养时，必须以充分为立足点，这样学生才能潜移默化感受到这种思想方法，思维才更具严谨性。

四、成效与反思

数学特级教师王红权老师说过：“每一堂数学课未必都会有轰轰烈烈的数学活动，亦未必都会用上全新的技术，但无论用何种方式，作为老师一定要努力给予学生学的机会并努力引领学生逐渐学会思考、学会研究问题的一般方法！”在初中数学教学中，类比是数学核心素养所要求的重要推理能力，是便于运用且通俗易懂的数学方法。

（一）各自收获

1.学生通过类比理解知识间的联系，轻松、清晰、准确地掌握新知识，达到知识与技能目标；通过课堂能体验和运用类比思想的研究方法，达到过程与方法目标，从而形成积极的学习态度、健康向上的人生态度，求实的科学态度，由学会变成会学、乐学。

2.教师通过类比教学研究对课堂有了更加合理的设计，对学生有了更加深入的了解，对教材有了更加系统的把握，提升了自身知识与能力的素养。

（二）研究反思

类比思想的培养不是一蹴而就的，需要教师和学生坚持不懈。在课题的实践中也反应出一些现实问题：如何在课堂内完成学习任务，又有效培养类比思想？现阶段一般是教师给出类比对象，学生进行类比探究，如果老师没有给出，学生能发现类比对象吗？我认为是否可以实施学生课前先行探寻的模式，进行富有创造性的设想，这值得后续进一步研究思考。因此，研究的空间还很大，这次研究或许只是开始。今后还需不断研究总结，做一个终生学习的研究者，为全面形成学生的数学核心素养，发挥数学育人的作用而沐雨栉风，砥砺前行。

参考文献：

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