广东省兴宁市实验学校
摘要:数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识,是数学的精髓、灵魂。重视数学思想是提高学生核心素养的有效途径。整体思想是数学思想方法中重要的思维方法之一。运用整体思想方法解题,要有强烈的整体意识,要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征,不拘泥于常规,不着眼于问题的各个组成部分。专题复习课的一个重要特点是帮助学生进一步记忆和理解核心概念,帮助学生从整体上系统掌握知识。
关键词:整体思想 核心素养 专题复习课
数学思想通过揭示理论与内容的内在联系,从而加深人们对数学知识的本质认识,是数学的精髓、灵魂。重视培养学生学数学用数学的思想,可以有效的提高学生核心素养。整体思想是数学思想方法这个大家庭中重要的一员,它在整式、分式、方程(组)、函数甚至几何运算中都有体现,在中考中具有举足轻重的地位。本文以一节专题复习课为例,谈谈如何引导学生从数学思想方法的层面上去思考数学问题,强化整体思想观念,提高解题速度,进而优化解题过程,培养学生的数学思维,提高学生的数学能力。
1 运用基本问题 感受核心思想
问题1:(1)已知,则
。
(2)已知,则
;
。
问题2:(1)已知,求
的值。
(2)已知实数、
满足
,
,求代数式
的值。
分析:(1)(2)
课堂实践表明,在问题1中,学生都能将当作一个整体,快速得出正确的答案。对于问题2(1),通过提取因数
,得到
这个整体;问题(2),通过提取
,把式子化为
的形式,再整体代入从而正确解答。
在这一环节,学生独立思考后回答问题。通过积累,让学生感受核心数学思想。问题的设置指向明确,起到了直击主旨的作用。
2 通过问题变式 深入核心思想
概念是人脑对客观事物本质特征的反映,思维作为一种反映形式,是人脑对客观事物的本质和事物之间内在联系的认识,它最主要的特征是间接性和概括性。
通过第一环节,学生已经了解整体思想这一概念,但对概念的本质还没有形成深入的理解。在概念形成之后,学会在实际问题中运用所学概念,是深入理解概念本质的有效途径。问题3:已知,求
的值。
问题4:已知,求代数式
的值。
分析:学生已经学习了一元二次方程的解法,若将问题中的看成一个未知数,将
求出后代入代数式中求值,那么计算量会比较大,计算过程也非常复杂繁琐。问题3中,如能将
看成一个整体,通过对式子的适当变形,解法变得简洁明了。观察问题4,结论中反复出现
,从条件中可以得到
,再代入式中求值。
题3解答:
题4解答:
在教学中我对问题4增设了一个问题:你能利用求
的值吗?学生受此启发,联想完全平方公式的变形,得到了更简洁的解法。
另解:
教学的基本目的就是保持和迁移。这一环节,加深了学生对整体思想的理解,让学生经历方法的提炼,不断积累经验、不断提升思维。其目的是为了能够灵活、正确的运用整体思想对数学问题进行分析,从而解决问题。
3 巧用题型变换 体验核心思想
3.1方程(组)型
3.1.1一次方程(组)
问题5:解方程组
常规解法:原方程组整理得,
得:
将代入③,得
所以,方程组的解为
整体解法:若将当作一个整体,由①得到
,代入②,从而求出
,再进一步求解即可。具体解法如下:
解:由①得到,
代入②式,得
将代入
,得
所以,方程组的解为
此题亦可将当做一个整体,用整体解法求解。
3.1.2高次方程
为了解方程。我们可以将
视为一个整体,设
,则原方程可化为
,解得
,
,当
时,
,
,
;当
时,
,
,
,所以,
,
,
,
(1)填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用达到了降次的目的,体现了的数学思想;
(2)用上述方法解方程:1:;2:
对于某些方程,我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式,把原方程化为一个容易求解的方程,这就是换元法。换元法的运用也是常用的解题思想之一
3.2几何型
在图形问题中,根据问题的整体结构特征,把一组图形看作一个整体,用整体的眼光去观察、分析、研究问题,往往可以起到化繁为简的作用。
问题6、如图1:⊙,⊙
,⊙
两两不相交,半径都是
,则图中的阴影部分的面积是。
分析:由于不能求出各个扇形的面积,因此,需要将三个阴影部分作整体考虑。通过观察,,所以三个扇形的圆心角和为
,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积就是半径为
的半圆的面积。
问题7:如图2:
问题8:如图3:求的和。
这三个问题都要用到三角形的内角和这一整体。对三角形整体结构的认知有助于学生在解决几何问题时,养成整体思考问题的习惯,从而提升思维,提高解题的水平。
3.3函数型
问题9:已知与
成反比例,如果
时,
;那么
时,
。
分析:解决这类问题,要将当作整体,所以设函数解析式为
,代入
、
,求
值。
通过一些具有代表性的问题,使学生学会迁移,举一反三,使学生进一步形成解决一类问题的一般性的方法。这也是复习课成功与否的标志。
4感悟与反思
4.1感悟
问题是数学的心脏、方法是数学的行为、思想是数学的灵魂。遇到问题,教会学生首先从整体上去观察和分析,认真分析问题的条件和结论,分析其结构特征,运用整体思想方法,从而用简单的方法去化解,就会得到意想不到的效果。当我们具有强烈的整体意识去看待问题,分析问题,才可能掌握并运用整体思想方法解题。整体范围看得越大,解法可能越好。在整体思想的指导下,用整体代入法进行尝试,通常会出现柳暗花明又一村的现象。
在习题练习中,为了使学生主动参与到学习活动中,我引导学生观察、猜测,通过实验、计算、验证和推理等等活动过程中看到其中所蕴含在数学思想。通过感悟整体思想,加强思维训练,使学生学会、掌握、运用基本的数学思想方法--整体思想。学生经过学习,能在较短的时间对认知结构形成一个完整的框架。当学生在今后面对选择时,能对事件进行全面的判断,从而做出正确的选择。这有利于学生解决问题时选择恰当的方式和策略。
4.2反思
专题复习课很容易变成简单的、机械的重复所学的知识,只是重现原来的教学。这样就没有让学生从整体上去系统掌握所学知识。裴光亚先生指出:如何判断一节课?就看它有没有以核心素养为目标的导向,有没有问题驱动。数学核心素养的本质在于用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的综合素养[1]。教学中应以问题为载体,层层深入,构建知识体系,积累解题方法,帮助学生进一步记忆和理解核心概念,这是专题复习课的一个重要的特点。只有这样,才能更好地发展学生的数学思维,提升学生数学素养。
专题复习课的一个重要特点是帮助学生进一步记忆和理解核心概念,帮助学生从整体上系统掌握知识。专题复习课不应是简单、机械地重复所学的知识,也不是把原来的教学重现。裴光亚先生指出:如何判断一节课?就看它有没有以核心素养为目标的导向,有没有问题驱动。数学核心素养的本质在于用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的综合素养[1]。本节课以问题为载体,层层深入,构建知识体系,积累解题方法,发展学生的数学思维,提升学生数学素养。
有效的课堂教学应以学生为主体,这就要求我们在课堂上不能把自己的思维强加给学生,而应把足够的思维的时间和空间留给学生,把课堂留给学生。否则,课堂教学很容易造成满堂灌。而且不仅在课堂上,在课后的教育和辅导中也要遵循这一原则。
章建跃博士认为:“数学是思维的科学,对学生数学思维火花的敏感性首先来源于教师的数学素养;从内蕴于数学知识中的认识视角、思想与方法等角度全面解析数学课程内容是一种值得尝试的路径,这需要教师拥有‘实质性结构知识’。”[2]
学好数学,教会学生用数学的眼光去看待问题,对学生将来的发展至关重要。教学的终极目标不仅仅是教给学生知识,更重要的是使学生学会自主学习。在人的一生中,相比数学知识,更重要的是掌握数学的思想和运用数学的意识。在教学中要以发展学生的数学思维为目的,教会学生用数学的眼光去看待问题,充分发挥数学的育人功能。作为一名数学教师,首先要提升自身的核心素养,用数学精神来充实自己。在提升自身的核心素养的同时,提升学生的数学核心素养。如何让学生在课堂上“有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”[3]?这些,都是我今后努力的方向。
参考文献:
[1]孔凡哲,史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究,2017(6):5-11
[2]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报,2015,54(1):61-63
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012