《正比例函数的图象与性质》教学案例分析

《正比例函数的图象与性质》教学案例分析

宋瑞琴

  山西省吕梁市柳林县新希望学校      邮编033300

一、背景分析

《正比例函数的图象和性质》是人教版八年级下册第19章的内容，之前学生已经有了平面直角坐标系的基本知识、常量与变量、函数图象的画法以及正比例函数的概念等知识。正比例函数是同学们接触的第一个函数，描点画图得到其图象的方法将为后面学习一次函数、反比例函数和二次函数打下良好的基础，并且通过观察图象得到其性质，也是学习函数性质的通用方法，因此本节课具有承上启下的重要作用。函数还有着非常广泛的实际应用，函数还是培养学生数学能力的良好题材，所以函数在初中数学中占着举足轻重的作用。函数的思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一观点，体现了数形结合的数学方法，不仅是知识性方面，更重要的是学习方法方面，作为一名数学教师，要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想和数学方法，因此本节课在教学中应向学生展示函数图象的运动变化，通过观察，归纳，体会数形结合的思想方法，而教师在引导学生观察归纳时需精心设计问题。

二、情景描述

片段1:复习导入，承上启下

师：前面我们初步学习了正比例函数，什么叫正比例函数？你能举出两个具体的例子吗？

生1：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数.

生2：例如y=2x.

生3：例如y=-4x.

生4：例如y=x.

师：好，我们可以举出许多正比例函数，那么对于正比例函数你还想研究什么？为什么想研究？

生1：我还想研究它的图象，我想知道它的图象是怎样的？

生2：我也想研究函数图象，我想从函数图象观察发现一些特征.

片段2:循序渐进，画出图象

师：那如何画图象呢？

生1：前面我们学过，可以用描点法画.

生2：分三步，列表、描点、连线.

师：好，接下来我们找几个具体的正比例函数来研究它的图象。我们先来一起画课本例1中y=2x的函数的图象.

师：第一步列表该怎么列？

生1：第一行可以列自变量x的值-3，-2，-1,0,1,2,3；第二行可以计算出其相应的y的值.

师在黑板上板演列表.

师：x的值只能取-3，-2，-1,0,1,2,3吗？

生：不是，任意的正数，0，负数都可以取.

师：也就是说，自变量x的取值范围为全体实数，所以-3的左边和3的右边都用省略号。

师：既然所有的实数不能都列出来，那就只列0，1，2，3可以吗？为什么？

生1：不可以，因为实数包括正数，0，负数.

生2：取点要对称，正数取三个，负数也要取三个.

师：那谁能总结一下列表时自变量x的取值有哪些注意点呢？

生总结.

师：如何计算y的值？

生：自变量的值带入函数y=2x中，计算出相应y的值.

师：好，第二步，描点，在哪描？描哪些点？怎么描？

生：在平面直角坐标系中，从左到右描出以表中x的值和y的值为坐标的点.

师：黑板上示范描点.

师：下一步，连线，怎么连？

生：将这些点从左向右连接起来.

师：这样我们就得到了哪个函数的图象？

生：函数y=2x的图象.

师：好，记得把函数名称写到图象的旁边.大家发现正比例函数y=2x的图象是什么形状呢？

生：我发现它是一条直线.

师：好，所以我们就把函数y=2x的图象称为直线y=2x.

师：接着我们来画函数y=x的图象，首先要列表，x取哪些数？为什么？对应的y值分别又是什么？

生：x取-3，-2，-1，0，1，2，3；因为x的取值范围是全体实数，对应的y值分别是------.

师：有没有不同的取法，使得到的点更容易描呢？

（学生思考后回答）

生：有，x可以取-6，-3，0，3，6等3的倍数，使得y的值都是整数，易于描点.

师：好，剩下的步骤自己独立完成.

一生在黑板上完成，其余学生在作业纸上完成.

师：画好后发现y=x的图象的形状又是什么呢？

生：也是一条直线.

师：好，接下来大家独立完成y=-1.5x和y=-4x的图象.

生独立完成图象，教师巡逻，发现问题展示台投影展示.

片段3:观察图象，得到特征

师：同样，大家发现这两个函数图象的形状也是直线，好，继续观察，你能看出这些直线都经过那个特殊点吗？你能看出这些直线的位置在哪吗？

生：都过（0,0）点，图象有的在第一、三象限，有的在第二、四象限.

师：什么时候在第一、三象限？什么时候又在第二、四象限？

生：k是正数时在第一、三象限，k是负数时在第二、四象限.

师：图象从左向右的变化趋势是怎样的？

生：有的是上升趋势，有的是下降趋势？

师：发现有什么规律吗？

生：由k决定，k>0,从左向右上升，k<0，从左向右下降.

师：再继续观察，，随着x的增大y是增大还是减小呢？（这是本节课的难点，教师可借助多媒体演示，还可以观察表格）

生：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

师：好，刚才我们从哪些方面观察图象的？

生：从形状、经过的特殊点、位置、趋势、增减性方面.

师：从这些方面观察得到的特征都是函数的性质.你能用一个具体的实例说说它具有哪些性质吗？

生1：y=3x的图象是一条过原点的直线，我们称为直线y=3x，经过第一、三象限，从左向右上升，随着x的增大而增大.

生2：y=-5x的图象是一条过原点的直线，我们称为直线y=-5x，经过第二、四象限，从左向右下降，随着x的增大而减小.

师：你能说说正比例函数y=kx（k≠0）有什么性质吗？

一生回答.

三、案例分析

1.关注课程，设计问题

本案例表现了较强的问题意识，分别设置了核心问题和子问题串。

(1)核心问题的设计。本节课在设计时紧紧围绕“为什么要画图象？”“怎么画图象?” “怎么看图象？”“怎么从图象得到性质？”“如何想到两点法？可行吗？”这五个核心问题，让这五个核心问题作为整堂课的主线。

(2)为了遵循了学生的认知规律和思维方式，在每一个步骤中又设立了一系列的子问题，比如在“怎么画图象”这一大问题中又设置了问题串：“怎么列表？”“x取哪些值合理？”“在哪描点？”描哪些点？”“怎么描？”“怎么连线？”；再如在“怎么看图象？”中设置了：“图象的形状是什么？”“图象过哪个特殊点？”“图象的位置在哪？”“图象从左向右的变化趋势是怎样的？”“随着x的增大y如何变化？”。让学生回答问题的同时循序渐进的完成了知识的学习和规律的得出。

2.关注学情，设计问题

教师设计问题时要注意学生的实际情况，学生都懂得不问，一看就明白的不问，教师在提问时，要注意不要把学生处于被动回答教师提问的地位，要给学生留下自由提问和思考的机会和时间，注重学生的自主学习和自我体验，当学生在自主学习思维停机、死机或已偏离预定轨道之时，教师适时提出的精心设计的问题，达到启发或引导的作用。好的问题是需要教师花大量时间和精力在充分吃透了教材和学情之后设计出来的，我们教师应站在发挥学生的主观能动性角度上，多精心设计不同类型的问题，激发学生的兴趣，引导学生思考，自然构建新知，顺利衔接过渡。