把握数量关系教学，聚焦核心素养发展——以人教版六下《圆柱体积的应用》为例

把握数量关系教学，聚焦核心素养发展——以人教版六下《圆柱体积的应用》为例

黄江龙

厦门市集美区园博学校  福建省厦门市，361021

《义务教育数学课程标准（2022版）》指出数学学习要引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。当学生遇到问题时，他们尝试借助图形描述和分析问题，从而更好地解决问题，实际上就是他们对题目有了自己的理解。数学学习需要学生运用逻辑思维，而这个分析的过程能够逐步培养学生的逻辑思维和应用意识，提升学生思维品质，是学生思维提升的一个重要推进过程。

“数量关系”作为数与代数领域的重要主题内容，是小学数学数与代数学习的重要领域。人教版六年级下册《圆柱体积的应用》一课的教学，是学生经历从现实情境中抽象出数学问题并进行解决，构建数学问题直观模型的课例。本节课作为发展学生几何直观和应用意识的有效载体，学生要经历借助图形分析和解决问题的过程，思维发展得到一次跨越。在教学中，笔者创设独特情境，让学生合作探究，给予学生充足的探究空间，在思维过程中构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

一、巧妙转化，几何直观促模型建构

六年级学生的思维发展水平开始由具体形象思维向具体抽象思维过渡，教学时，要以学生的思维发展水平为基础，在导入环节，注重创设贴近学生生活的情境，激发学生的学习兴趣；例如：《圆柱体积的应用》一课中由于教科书中的情境比较单薄，在创设情境时，可以结合实际，关注学生的兴趣特点，老师拿出一瓶饮料展示，并当场喝掉一部分，让学生根据这一过程提出数学问题。学生可能提出以下问题：（1）瓶子里还有多少饮料？（剩下多少饮料？）（2）老师喝了多少饮料？（也就是瓶子的空气部分。）（3）这个瓶子一共能装多少饮料？（也就是这个瓶子的容积是多少？）通过创设情境让学生结合身边经历，唤醒学生的生活经验，激发学生的学习兴趣，调动学生积极探索新知。

教学时，给予学生充足的探索时间和空间，对于问题1：学生很容易发现瓶子里剩下的水呈圆柱状，只要测量出这个圆柱的底面直径和高就能算出它的体积；问题2：学生会发现喝掉部分形状是不规则的，没有办法直接计算，教师注意引导学生发现：在瓶子倒置前后，空气的体积不变，利用水的流动性成功地将不规则的空气部分转化成了一个圆柱体，得到所需数据后就能求出它的体积。教学时，注意给予学生想象的时间，然后进行演示让学生观察，发展学生的空间观念。问题3：学生根据已有学习经验将水瓶的容积转译为：水的体积+空气的体积。为了便于观察，把瓶子投影到大屏幕上，观察水瓶的容积由哪几部分组成，由于空气的体积的求法比较抽象，还可以设计让学生动手操作强化感知，让学生动手将瓶子进行倒置，观察倒置后空气部分的体积在哪里，学生感受倒置前后空气形状的改变，强化学生的理解。学生结合图形理解，倒置前后水和空气的体积都保持不变，所以要求瓶子的容积，就是求倒置前水的体积和倒置后空气的体积，这样就把瓶子的容积转化成了两个圆柱的容积。这一过程要充分发挥几何直观的作用，进一步使学生感受到借助图形分析理解题意，可以帮助我们更好理解问题，提升解决问题的能力。

观察水瓶容积的组成      倒置前后空气和水的体积不变    通过两部分圆柱求出容积  

二、真实体验，架构数学与生活的桥梁

学生对于喝饮料是非常感兴趣的，而且老师能够当场“表演”喝饮料，更让他们兴奋，可以拉近学生与老师之间的距离，有的孩子甚至课后还会问老师饮料哪里买的等，唤醒了学生的生活经验，激发学生的学习兴趣，调动学生积极探索新知。在学生解决问题之后，还可以创设操作实践活动，以学习小组为单位求出自己课前准备的瓶子的容积，有了解决问题的经验，学生会思考需要测量的数据，然后将测得数据记录在学习单上并计算，这个环节学生会发现，测量时有的瓶子是比较“不规则”的，可以近似看成底部是圆形，同时瓶子的厚度可以考虑忽略不计或者估一估，有的孩子会发现一些数据不好计算，因此往瓶子里加水，使得数据更利于计算。

“比较是一切理解和思维的基础”，在本节课的教学中，当学生突破第一水平——能较为熟练求瓶子的容积后，教学重点就转变为如何引导学生对解题方法的对比优化，可以利用excel表格让完成的小组汇报数据，数据用色块进行填充，让学生可以快速校对答案，可视化强，提升学生的数据分析能力，比较得出用公式：πr2（h1+h2）计算更方便快捷，同时利用课件进行演示，让学生理解公式所代表的实际意义，其实是将两部分圆柱合成了一个大的圆柱，强化学生对公式的记忆和理解。

教学时，通过创设贴近生活的情境和实践活动，架构起数学和生活的桥梁，让学生经历生活问题的数学化过程，感受数学与生活的联系，让学生能够从实际情境中抽象出数学问题，培养学生发现、提出问题的能力；再让学生动手实践、合作探究，感悟解决问题模型的意义，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识，进而提高学生分析和解决问题的能力。

加水使数据利于计算      利用计算机优化算法       理解“πr2（h1+h2）”的实际意义

三、善用变式，培养学生模型应用意识

当学生初步建立模型后，如果缺少相应的变式训练，学生对知识的理解将是模糊、不透彻的，在进行数量关系教学时,要适当加强变式训练、合理采用教学策略，借助数形结合表征的直观进行教学，促进学生思维的提升，培养孩子灵活思考数学问题的习惯和应用意识。

得出模型后还可以设计具有层次性的拓展问题，如：

问题1：一瓶满装矿泉水，小美喝了一些，瓶中水深15 cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高6cm,瓶内直径是8cm。小美喝了多少毫升的水？下面列式正确的是（   ）。

问题2：疫情期间每天需要对教室进行消毒，一个容积是750mL的“84消毒液”瓶里装满液体，黄老师从瓶中倒一些配置消毒水，然后把瓶盖拧紧，倒置放平（如图），无液体部分是圆柱形，黄老师倒了（          ）mL消毒液。

    问题3：计算下面立体图形的体积。

3.14×（8÷2）2×（12+10）÷2=552.64（立方厘米）

学生容易发现问题1喝的部分就是倒置后的圆柱部分，结合图形更容易理解得到圆柱的高是6cm，半径是4cm，因此利用求圆柱体积的公式，可知正确答案是④。问题2，学生除了题干当中的“容积”信息，其余信息需要从图中获得，同时还要灵活运用圆柱体积计算的公式，需要逆向思考求出瓶子的底面积，有的孩子没有思路，有的孩子受思维定式影响，以为需要求出半径，导致无法解决问题。教学时，可以让孩子标出要求的部分，思考解决这个问题需要用到的信息，会发现只要先求出空白部分圆柱体的高和底面积就能求出体积了，底面积可以利用体积除以水的高度，空白部分圆柱体的高可以用瓶高减去倒置后水的高度。问题3运用到的思想方法与推导梯形面积公式类似，可以利用完全相同的立体图形拼成一个圆柱，教学时利用希沃克隆技术，克隆出已知图形，再进行旋转拼接，让学生直观感悟转化的方法，同时感受到数形结合对解决问题的帮助。

拓展类题目的选择涵盖了选择题、填空题和解决问题，从三个方面促进孩子对本课知识的理解，既巩固了本课知识还提升了孩子思维的灵活性。学生结合图形可以更好分析图形的性质，建立起数与形的联系，感悟数学和现实生活的关联，感悟解决问题模型的意义，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识，进而提高分析和解决问题的能力。架起数学和生活的桥梁，让学生在生活化的情境中巩固、提炼模型的本质，训练学生思维的敏捷性以及逆向思维的创造性，让学生将课堂所学的数学知识和方法应用于生活,体会到数形结合的价值和感受“用数学”的愉悦。

总之，“数量关系”是小学数学学习重要的主题内容，教师要立足生活实际，依据数学知识结构和儿童认知结构特点来组织教学，引导学生利用好数形结合描述、分析问题，培养学生良好的思维品质、促进学生思维发展；要多让孩子探索、优化，积极引导，这样既能促使学生对图形有进一步理解，也能提升学生的形象思维和逻辑思维能力，更好地发展学生核心的素养。