北师大版数学九年级下册第三章第4节——《圆周角与圆心角的关系》教学设计

北师大版数学九年级下册第三章第4节——《圆周角与圆心角的关系》教学设计

王志雄

广东省信宜市白石中学   525344

一、教学内容分析

本节课属于北师大版九年级下册第三章第4节，内容为《圆周角与圆心角的关系》第1课时。学生在之前已经学习了圆的有关概念，了解了半径、圆弧、圆心角等基础知识，对圆的对称性、垂径定理等也已基本掌握。圆周角定理是圆的一个重要定理，与圆的有关推理、论证和计算很多，近些年在中考中属于常考点。在新课改的推动下，培养学生的发散思维及问题解决能力成为教学的重点，采用启发引导式的教法让学生探究圆周角与圆心角的关系，可以培养他们良好的思维品质。

二、学生分析

学生在本章第二节的学习中，经过探索已经学习了同圆、等圆中弧、弦和圆心角的关系等基础知识，同时对垂径定理也进行了严谨的证明。经过一系列的推导证明，已经基本具备了学习几何需要具备的“猜想—验证—证明”的过程，知晓了分类讨论思想的内涵，能用所学的圆知识解决生活中常见几何问题，获得了相关经验。因此对学生学情分析来看，可以开始本节课的深度教学。

三、教学目标

（一）知识与技能目标

1.对圆周角的定义深入理解，掌握圆周角定理。

2.对圆周角与圆心角的关系进行科学探究，能运用其关系解决实际问题。

（二）过程与方法

1.通过启发引导、类比教学等手段培养学生观察、分析和解决问题的能力。

2.让学生体会类比探索新知的方法，学会将特殊情况转化为一般性问题，掌握分类证明数学命题的方法。

（三）情感态度与价值观

1.在合作探究中培养学生的集体主义精神，学习他人的优秀之处。

2.在探究中让学生感受成功的愉悦，培养问题解决能力。

四、教学重难点

（一）教学重点：掌握圆周角的定义及其相关应用。

（二）教学难点：在证明圆周角定理时，渗透“分类讨论”思想。

五、教学方法手段

（一）教法：结合本节课教学大纲、学生学情及课改要求，采用类比教学法、启发引导法。

（二）学法：根据新课改树立学生主体地位要求，采用动手实践、自主探究和合作交流等学习方式。

（三）教学手段：多媒体创设情境式教学、PPT课件演示。

六、教学过程

（一）创设情境、导入新课

1.视频导入

播放足球射门视频（图1），激发学生学习兴趣。引出问题：某个球员射中没有人防守的球门与他所在的位置B对球门AC的张角（∠ABC）是存在一定的关系的。将射门的情况转变为数学模型（图2），加深学生的理解。

    2.引出圆周角的定义

通过上面的数学模型引出圆周角的定义：它的定点在圆上，两边分别与圆存在交点，这样的角就叫圆周角。学生观察并讨论得出圆周角的两个重要特征：一是角的顶点必须在圆上；二是角的两边都与圆还有另外一个交点。

3.课堂小练习

同学们，请辨析下列圆性中的角是不是圆周角？（图3）

【设计思路】：开篇没有直接介绍圆周角定义，以学生感兴趣的足球游戏为导入情境，在视频场景中激发了学生探究圆周角的兴趣，同时将一般数学问题抽象为具体数学模型，加深了学生印象。学生观察辨析得出圆周角定义，同时通过课堂小练习的方式提高对圆周角概念的理解。

（二）猜想证明，形成定理

1.引导学生思考

再次演示球员射门视频，回到课件刚开始的地方，当球员分别在B、D、E三个位置射门时，与球门AC形成的三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC大小存在怎样的关系呢？学生从感觉和经验上说出自己的答案。

2.做一做、猜一猜

圆上的一条弧所对的圆周角与圆心角存在怎样的关系呢？

①做一做：

如图，∠AOB=80°，请同学们讨论以下问题：（1）画出几个AB所对的圆周角，探究下这几个角存在何种关系？②你所画的圆周角与圆心角∠AOB大小又有怎样的关系？

图1          图2       图3        图4             图5动画演示

②猜一猜：

通过讨论，同学们是否发现这样一个现象：圆周角的度数等于它对应的弧上的圆心角度数的一半？下面跟随我的动画来验证你的结论。

③动画演示：

教师通过几何画板来演示整个圆周角与圆心角关系，帮助学生形象理解。（图5）   

④定理证明：

请同学们根据我们之前学的分类思想，自己在练习本上画出几张圆周角与圆心角关系的图形，得出普遍关系。（图6分类思想）

⑤定理形成：

圆周角与圆心角关系：圆周角的度数等于它对应的弧上的圆心角度数的一半。教师列举两种情况：一是圆心在圆周角一条边上；二是圆心在圆周角的内部。（图7）

⑥圆周角定理的推论：

圆周角定理的推论学生普遍感觉困难，教师引导学生再次回到球员射门的视频中，利用几何画板现场画出球员在不同位置射门的圆形图，引导学生通过小组合作探究的形式推论圆周角定理——同弧或等弧所得的圆周角是相等的。（图8）

图6分类思想               图7定理的两种情况              图8

【设计思路】：通过类比的方法引导学生提出问题，加深学生的印象。通过几何画板形象的演示圆周角与圆心角的关系，摒弃直接告诉学生两者关系的教学通病，可以提高学生的推理能力。通过圆周角定理证明过程并结合球员射门实际案例，引导学生进一步得出圆周角的推论，提高教学深度。

（三）巩固新知，提升能力

现场设计小练习，由小组合作的方式解决，教师邀请小组代表发言，阐述自己的解题过程。最后对学生学习情况进行检验，根据学生做题情况引导他们总结本堂课所学内容。  

     【设计思路】：引导学生合作探究，通过观察、思考后回答问题，充分树立了学生主体学习地位。

（四）总结回顾，思维升华

本节课我们的收获是什么？

1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。

2.圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角度数相等。

3.分类讨论并转化思想。

【设计意图】：学生畅所欲言，培养学生归纳总结能力，培养利用所学知识解决问题能力。

（五）课后分层作业

1.基础生作业：①自己在练习本上推导一下圆周角与圆心角的关系，你还能发现哪些信息？②观察生活和生产中利用圆周角与圆心角关系解决问题的一些实例。

2.优等生作业：①将本堂课所学的知识设计成思维导图。②如图：OA、OB、OC都是某圆的半径，其中∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.

七、导学案

（一）预习导学

1.圆心角的定义：顶点在______的角叫做圆心角。如下图中，∠______是圆心角，这个圆心角所对应的弦为______，所对的弧为______。

2．总结：圆心角、弦、弧三者之间的关系为____________。

（二）课堂导学

1.圆心角与圆周角存在哪些不同？请你分别在一个圆中画出圆心角和圆周角，探究其中的关系。

2. 圆周角的度数等于它对应的弧上的圆心角度数的多少？你是怎么得出来的？请给大家演示一下。

3.什么是圆周角定理？请自主阅读课本内容，将课本中给定的定理自己画图尝试推导，看谁推导的最快最有说服力。

4.学生将预习内容通过打卡或上传班级群的方法与其他同学分享，教师根据学生预习情况对教学过程进行微调，增强教学的针对性。

（三）课后导学

1.圆心角，弧、弦三者对应的关系：在____圆或____圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____相等；相等的______或相等的______所对的圆心角也相等。

2.通过这节课你学到了哪些知识？你认为我们研究圆心角和圆周角的关系有助于帮助我们解决哪些问题？

八、教学反思

（一）充分树立学生主体地位

初中数学新课改强调树立学生学习主体地位，但是在应试化教育影响下，很多教师仍然秉承“讲授+习题”教学法，课堂上师生、生生互动较少，学生难以充分发表自己的看法，数学素养较差。本堂课将学生推向前台，从课堂导入环节开始就加强了师生互动，让学生观看足球射门视频来引出教学内容，使得抽象数学知识具体化，提高了学生的认知水平。同时在课堂教学的过程中，教师的角色由原来的主导者变为引导者、策划者，在探究圆周角与圆心角关系时，通过“做一做、猜一猜”活动让学生利用生活经验和学过的知识去进行自主、合作探究，经历思考、质疑和论证等关键学习环节，形成了较强的数学核心素养。

（二）创新了数学教学模式

初中数学新课改重视教学模式的多元化，要求教师根据学生学情和教材内容，积极融入情境教学、小组合作、翻转课堂等形式，突出学生在学习中的动脑思考意识，积极将学过的知识迁移到新问题解决中。本堂课在导入环节即设置了相应的情境，将数学问题转变了具体的模型，提高了学生的理解能力；在正课讲解阶段，通过类比的方法引导学生提出问题，加深学生的印象。通过几何画板形象的演示圆周角与圆心角的关系，摒弃直接告诉学生两者关系的教学通病，可以提高学生的推理能力；此外本堂课增加了“巩固新知，提升能力”环节，现场设置了小练习，由小组合作完成，提高了学生的数学合作探究能力，有助于提高他们的集体主义精神；最后，根据双减政策的要求，在作业设计上，我们采用了分层作业的形式，安排了一定的开放式作业，学生根据自己的能力选择完成类型，提高了他们的数学学习兴趣。