几种数学思想在高等数学中的应用

几种数学思想在高等数学中的应用

唐胜祥

广东第二师范学院 广东 广州  510303

摘要：本文主要研究了高等数学这门课程教学实践中常用的一些思想方法，讲述了在教学中

怎么通过数形结合思想、离散和连续的思想、特殊到一般的思想等让教学变得更丰富，让学

生更容易接受，然后给出了教师教学过程中遇到的一些常见的问题以及对这些问题的应对策

略。

关键词：数学思想；高等数学；极限；

1. 前言

高等数学这门课程是很多非数学专业大一课程中很重要的一门课，是很多专业的必修课程之一。一般是针对非数学专业的学生开设的一门基础课，学生数学基础层次不齐，对于物理大类或者计算机大类的学生数学基础整体较好，对高数的接受程度也更容易一些，而像旅游管理，酒店管理这些大类的学生，一般有一半以上的学生是高中数学比较弱的学生。这对教师的教学提出了很高的要求，在实际的教学实践中，为了让不同数学基础的学生对该门课程有更深刻的理解，需要引入合适的教学方法与数学思想。高等数学教学研究的参考文献很多，有兴趣的读者可以参考[2-3]。

2. 数形结合思想

高等数学课程学生一开始遇到的最抽象的一个概念是极限的概念，极限的概念教学需要用到数形结合的思想，有助于学生对该概念的理解，实际的教学中，可以首先举几个数列的例题，这几个例题包含趋向于无穷大的数列，也包含交错数列，还包含收敛的数列，引导学生观察这几个数列的趋向性质。这三类数列代表了高等数学中三种比较典型的数列，都是高数的研究对象，然后引导学生思考收敛的数列的本质是什么？在实际的教学中，可以选一个收敛的数列进行教学，通过给出不同半径的圆，观察该数列的性质，发现收敛数列的本质是：任意给定一个半径为r的圆，数列从某项开始，全部落在了圆内[1]。然后观察其它趋向某个固定值的数列，发现也有类似性质。这样学生对数列的概念有了一个初步认识。当然数学结合的思想在数列收敛和函数收敛的性质中也有重要的应用，比如说函数收敛的唯一性，也可以通过数学结合的思想去分析，首先通过反证法假设收敛于不同的数，然后以这两个数为中心画两个半径不同的圆，学生可以通过观察发现，这两个圆的半径和小于两个数的差的绝对值的时候，这两个圆没有公共部分，但是由数列本质，这个数列从某项开始要全部落在第一个圆内，而落在圆外的只有有限项，同时这个数列从某项开始要全部落在第二个圆内，而落在圆外的只有有限项，显然这里产生了矛盾，就可以得出唯一性。在其它相关的性质的分析中，数学结合的思想也会起着重要的作用，实际的教学过程中发现，用数形结合的思想，学生的理解更容易。对课程的掌握更容易。数型几何的思想在讲解函数的间断点分类里面也有很重要的应用，讲解间断点分类的时候可以将常见的几种间断点图形画出来，让学生从整体上把我间断点的分类。有些比较复杂的图形可能需要借助于matlab软件来展示，比如震荡间断点，这个图形在实际画的时候有点困难，但是借助matlab软件可以让学生更清楚的理解什么是震荡间断点，就是在两个常数之间，图形可以无穷次达到。在导数的概念教学中，数形结合思想也有应用，导数的几何意义可以通过图形来展示，而且由于matlab等软件的出现，可以让学生清晰的看到割线逼近切线这一过程。动态图形比静态图形的直观效果更好，因为静态图形不够直观，而动态图形更直观，因为能展示“逼近”这一过程。几个重要的中值定理也是借助于数形结合建立关系，中值定理本质是曲线上某点的斜率等于通过两个端点的弦的斜率，学生通过图形很容易观察到。

3. 从离散到连续和从连续到离散

数列极限到函数极限的过渡其实就是离散到连续的过程。将数列看成自然数n的函数，在平面中以n为很坐标，以1/n为纵坐标画出离散函数1/n图形的，显然这个图形在第一象限内，然后由1/n的极限的定义，可以在平面中作一个半径为ε的带形区域，可以发现数列从某项开始落在了带形区域内，然后可以引导学生思考函数1/x在第一象限内的图形，很显然这两个图形一个是离散图形一个连续图形，对应与离散数列1/n从某项开始落在了带形区域内，函数1/x从x大于某个实数开始落也在了带形区域内。从而引导学生推导出函数自变量趋于正无穷大的极限的定义，这样一个简单的类比很容易让学生对极限的理解从离散过渡到连续函数当自变量趋于正无穷大时候的图形。然后再考察1/x在第三象限内的图形，由对称性可以发现，第三象限内的图形在x小于某个实数开始全部落在了带形区域内，从而可以给出该函数自变量趋于负无穷大的极限的定义。进一步再考察1/x在第一象限和第三象限内的图形，函数1/x从x大于某个实数开始落也在了带形区域内同时第三象限内的图形在x小于某个实数开始全部落在了带形区域内，从而可以给出该函数自变量趋于无穷大的极限的定义。这样的一个过渡就将数列的定义过渡到了函数的定义。然后进一步引导学生思考自变量趋于某个固定值的极限，只需要从带形区域开始考察函数的特性即可，学生很容易就可以给出函数极限定义的理解。连续到离散的思想在高等数学也有很重要的应用，例如一个点是震荡间断点的证明过程中，需要用到函数的两个离散的子序列无穷次的取到某两个固定的值，这样就符合震荡间断点的特点。

4. 从特殊到一般

导数的定义的引入在实际的教学中可以采用从特殊到一般的思想来讲解，可以通过计算物体运动的瞬时速度，经济学中边际成本的计算，割线的极限位置三个例子来引导学生观察，发现这三个量的计算公式的本质都是一样的，都是求的差商的极限，从而引出函数在某点导数的定义。引入的三个计算公式是特殊情形，但是学生可以通过自己的归纳总结将一般形式给出来。这样学生对该定义的印象才会深刻，对定义的理解才会比较清楚。中值定理的几个定理也可以理解成特殊到一般的过程，罗尔定理最特殊，要求两个端点的值一样，如果去掉这个条件，就可以得到较为一般的拉格朗日中值定理，但是它确实柯西中值定理的特殊情况，所以这三个定理建立过程可以看成是特殊到一般的过程。

5. 整体和局部的数学思想

高等数学里面有很多的概念和性质，这些概念和性质有的是局部的，有的是整体的。函数的极限是一个局部的概念，而数列的极限看起来更像整体的概念。因此函数的极限导出来的性质很多时候是局部的性质，例如有界性和保号性这些性质都是局部的性质。但是数列的极限导出来的有界性看起来更像整体的性质，因为这个性质是整体的角度来描述数列的。由于函数极限是一个局部的概念，由此导出的其它概念例如一点的连续性的概念、某点的导数的概念都是局部的概念，由这些概念得到的性质有一部分是局部的性质。像这种局部的概念还有极值，体现该概念的局部性质的是极小值和极大值的个数不是唯一的，极小值与极大值没有必然的大小关系。无穷小量和无穷大量是很两个局部的概念，因为这两个概念的定义都是基于某个点的极限，因此不能笼统说某个函数是不是无穷小量或者无穷大量，而应该在描述的时候加上自变量的变化。等价无穷小也是一个局部的概念，因为描述等价无穷小的时候都要加上自变量的变化状态，不能直接说某两个函数等价。而函数整体的性质和概念除也有很多，例如函数的最大值、最小值就是整体的概念。而很多概念既可以是整体的概念也可以是局部的概念，例如函数的有界性，可以是整体有界也可以是局部有界，函数的凹凸性可以是局部的概念也可以是整体概念，因为一个函数可以在某个区间上定义凹凸性概念，也可以在整体上定义凹凸性的概念，单调性既可以是局部的性质，它可以定义在某个区间上，也可以是整体的性质，因为可以在整个区间上定义单调性。

6. 归纳总结思想

高等数学I这么课程要想教好，首先得为学生构建概念之间的一个整体关系，因为很多概念之间是有关联的，所有概念的基础是极限，极限是课本后面所有概念的基石，基础不牢，地动山摇，在极限的基础上才会有函数的连续性，连续是用极限来定义的，由于有左右极限的定义，对应到函数里面就是左极限和有极限，有了连续才可以定义导数，导数是在连续的基础上构建的，由于函数有左右极限，对应到导数的定义就会产生左右导数，微分以及定积分的定义也是在极限的基础上定义的，有了这个整体的架构之后，整个高等数学I才会有一个整体的脉络，才会形成一个整体的体系，从而做到心中有数，对高等数学I到底在讲什么才有一个清晰的思路。数列和函数极限的定义有很多个，教师教学的时候可以对这些定义进行归纳总结，作出比较分析，学生可以发现，函数自变量在趋向于正无穷大的定义和数列的极限定义是几乎是一样，这里用到几乎是因为这两个定义除了变量的记号不一样，但是定义的语言形式却是一致的，如果把两个定义里面的变量用相同的符号来描述，这两个就是一个定义，原因是因为数列的本质就是一个函数，只不过是一个离散的函数。函数的极限定义有两种，一种是自变量趋于固定值，一种是自变量趋于无穷，这两个定义放在一起比较，差别还是比较明显的，因为一个自变量变化范围是有界的，一个自变量变化范围是无界的。学习完前面三章之后就可以对函数的极限求解方法进行一个归纳总结。有连续函数的定义来求，就是函数在某点是连续的，根据连续的定义，该点处的极限就是函数值。对于有理函数来说，其极限的求法一般分为两大类七小类，书上都有类似的例题讲解，我这里就不一一列举了，还有复合函数的极限有自己的求法，主要用的是复合函数求极限的法则，而幂指函数的极限一般时先将其转化为指数函数来求解，除次之外还有两个重要极限，洛必达法则以及他们之间的混合使用。有的学生一直搞不清楚一个函数的极限该怎么求解，这说明该学生对整体的知识没有做详细的归纳总结，不知道什么时候该用什么样的方法去处理，因此教学过程中要注意对学生这方面的素养进行合理的引导和培养，最终的目的是让学生能自己去总结和归纳，养成良好的学习习惯和学习方法。

7. 高等数学教学中常见的问题及应对策略

高等数学I一般教学学时在48-64学时，遇到长假可能课时会更少，教师在教学过程中遇到的第一个问题是课时的问题，因此有些地方不能讲得很详细，需要学生课下自己加强学习，但是部分学生自主学习的动力不足，因此学习基础不牢固。现在网络资源比较发达，为了加强学生在薄弱处的学习，教师可以通过在智慧课室上课录课来解决，当然这需要学校有智慧课室。由于课时不足有些需要解答的问题不可能全部解答，对同一个问题每个学生的接受程度不一样，因此课后作业的错误题目也不一样，为了尽可能解答学生易错点，教师可以采用线下录视频来讲解作业，然后上传到软件中去，学生可以通过软件观看相关题目的解析，通过这种方法可以做到尽可能照顾每个学生的需求，从而提高课后学生的学习效率，为后面课程的学习打下一定的基础。但是不管是智慧课室录课还是录习题解答的视频，都对视频录制技术有一定的要求，如果录制的视频镜头不够清晰，声音不够清晰，学生观看的兴趣就会大大减少，而且观看视频没有人监督，需要学生自己有高度的自觉和自律性，但是很多学生缺乏这种精神，因此有时候效果可能没有那么好，但是对部分自觉和自律的学生，学习自主性比较强，视频的出现对他们会比较有帮助。对有些基础薄弱的学生，其学习兴趣本来就不足，加上高等数学本来就不容易学习，内容整体上偏难，容易导致一步落后步步落后，可以鼓励学生之间相互帮助，当然作为教师也应该引导学生提前预习，做到心中有数，从而提高自己的课堂效率。高等数学是一门比较的课程，为了将这么课程讲解得更通俗易懂，可以在教学实践中引入各种计算机软件来辅助教学，例如matalb可以画动态和静态图形，将各种类型的函数展示给学生看，学生可以更方便的理解。在教学的过程中，会发现很多学生上课的时候听得懂，但是自己动手的时候却不是很会，这说明学生的练习还有对知识点的熟练程度不够，高等数学由于知识点很多，需要课后学生加强训练，但是课后练习也不可能面面俱到，而且现在教学的评价机制慢慢向平时学生表现靠拢，很多专业课建议进行期中测验以及大作业。对于期中测验，由于教学学时本来就紧张，可以通过网上资源来展开，可以在小程序或者专业网站建立题库，让学生在里面作答，以开卷的方式进行，对于选择和空题类型的题目可以由系统自动批改完成，这样可以加强教学效果。高等数学是一门基础课程，很多工科和理科类的学科都会用到高等数学类容，因此应该尽可能为学生打下基础，良好的数学功底会为学生以后的学习提供更宽广的路径。

8. 小结

本文给出了高等数学的教学过程中的一些常见的数学思想，当然这里没有全部给出，只给出了其中一些比较典型的思想方法，作为一名教师应该在今后的教学工作中多思考，让自己的教学方法和教学手段更加丰富起来。

参考文献：

[1]同济大学数学系. 高等数学(第六版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2007.

[2]王爽, 李秀珍, 赵永谦,等. 高等数学数形结合教学法的研究与实践——以山东建筑大学为例[J]. 山东建筑大学学报, 2015, 30(6):7.

[3]余达锦, 杨淑玲. 创新创业教育背景下高等数学教学方法研究[J]. 江西财经大学学报, 2013(4):8.