山东省莘县大张家镇中心初级中学 邮编:252428
在任意三角形中,都有角平分线、中线、高线这三条线段。其中对于三角形的中线,它们的交点即为三角形的重心。我们知道,三角形的重心,分三角形的一条中线为2:1两部分。
对于任意三角形,其三条角平分线总会在三角形内部交于一点,这一交点即为该三角形的内心。这个交点也把三角形的一条角平分线分为两部分。我们现在需要考虑的是:三角形的内心把一条角平分线分为两部分,这两部分的长度,是不是和重心分一条中线为两部分一样,也有规律可循呢?
下面我们就这一问题,展开探究。
如图:任意△ABC中,AB=c,BC=a ,AC=b ,AD、BE、CF分别是三个内角的平分线,三条角平分线交于点O(O为△ABC的内心)。求: 的值。
证明:如图做MN∥ AB ,分别交AC、BC于M、N ;过A做AH⊥BC 于H
∵ AD平分∠ BAC
∴∠BAD=∠CAD
可得三角形面积:
S△ABD= AB×AD×= BD×AH (1)
S△ACD= AC×AD×= CD×AH (2)
(1)、(2)两式相比,可得:
====
∴===
∴BD=
在△ABD中,可知:
= ===
==
即:=
同理可证:
= ; =
在此基础上,我们不妨再进一步思考。拓展延伸,继续探究。
如果过O点,分别做PQ∥AC分别交AB、BC 于点Q、P; GH∥BC 分别交AB、AC于G、H;MN∥AB 分别交AC、BC于M、N . (如图所示) 这会有什么样的结论呢?
根据上述结论,易推导出其相应三角形的面积比:
==
∴===
同理易证下列结论成立:
= ;=
也易推导出相应三角形的周长比:
由上述平行,据平行线分线段成比例,
可知:== ;
== ;
同理易证:
= ;= .
以上结论对于直角三角形、钝角三角形同样成立,大家可自行验证,在此不再赘述。
综上所述:对任意△ABC,AD、BE、CF分别是内角平分线且交于O点;
MN、PQ、GH分别过o点且分别与AB、AC、BC 平行,则有下面的结论成立:
=;= ; =;
= ;=;= .
数学的学习是一个不断深入,不断发掘的过程。对教材的每一个例题、习题的认真推敲和发掘、多种解法及技巧经验的提炼总结,对每一个证明方法和过程的改进及拓展,都是对数学知识的巩固、应用和创新,都值得大家去反思和深究。
以上是在教学过程中,对于三角形内角平分线性质的一点探究,不妥之处,请大家不吝指正。