山东省莘县大张家镇中心初级中学 邮编：252428
在任意三角形中，都有角平分线、中线、高线这三条线段。其中对于三角形的中线，它们的交点即为三角形的重心。我们知道，三角形的重心，分三角形的一条中线为2：1两部分。
对于任意三角形，其三条角平分线总会在三角形内部交于一点，这一交点即为该三角形的内心。这个交点也把三角形的一条角平分线分为两部分。我们现在需要考虑的是：三角形的内心把一条角平分线分为两部分，这两部分的长度，是不是和重心分一条中线为两部分一样，也有规律可循呢？
下面我们就这一问题，展开探究。
如图：任意△ABC中，AB=c，BC=a ,AC=b ，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线，三条角平分线交于点O（O为△ABC的内心）。求: 
的值。
证明：如图做MN∥ AB ，分别交AC、BC于M、N ；过A做AH⊥BC 于H
∵ AD平分∠ BAC
∴∠BAD=∠CAD
可得三角形面积：
S△ABD=
AB×AD×
= BD×AH （1）
S△ACD= AC×AD×
= CD×AH （2）
（1）、（2）两式相比，可得：
=
=
=
=
∴
=
=
=
∴BD=
在△ABD中，可知：
=
=
=
=
=
=
即：=
同理可证：
=
; 
=
在此基础上，我们不妨再进一步思考。拓展延伸，继续探究。
如果过O点，分别做PQ∥AC分别交AB、BC 于点Q、P； GH∥BC 分别交AB、AC于G、H；MN∥AB 分别交AC、BC于M、N . (如图所示) 这会有什么样的结论呢？
根据上述结论，易推导出其相应三角形的面积比：
=
=
∴
=
==
同理易证下列结论成立：
=
;
=
也易推导出相应三角形的周长比：
由上述平行，据平行线分线段成比例，
可知：
=
=
；
=
= ；
同理易证：
= ;
= .
以上结论对于直角三角形、钝角三角形同样成立，大家可自行验证，在此不再赘述。
综上所述：对任意△ABC，AD、BE、CF分别是内角平分线且交于O点；
MN、PQ、GH分别过o点且分别与AB、AC、BC 平行，则有下面的结论成立：
=；= ; =；
= ;=；= .
数学的学习是一个不断深入，不断发掘的过程。对教材的每一个例题、习题的认真推敲和发掘、多种解法及技巧经验的提炼总结，对每一个证明方法和过程的改进及拓展，都是对数学知识的巩固、应用和创新，都值得大家去反思和深究。
以上是在教学过程中，对于三角形内角平分线性质的一点探究，不妥之处，请大家不吝指正。
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