综合法和分析法在初中几何解题中的应用探讨

综合法和分析法在初中几何解题中的应用探讨

黄嘉琪

广西南宁市北湖北路学校  530001

摘  要：内容复杂、形式多变的几何习题始终是初中数学教学中的难点与重点。本文从综合法和分析法的内涵出发，深入探讨初中几何解题中综合法和分析法的具体特征与应用效果，并以此为基础全面对初中几何解题的现状进行分析，进而围绕实际例题对综合法和分析法在初中几何解题中的具体运用展开阐述，以期为相关教学工作者的内容设计与教学实践提供有效的参考经验。

关键词：综合法；分析法；初中几何解题；应用探讨

前  言：作为数学教学的成果体现，学生的几何习题解题能力不仅是学生应对考试的重要倚仗，更是实现数学学科素养培育的关键跳板。但受教学形式与学科能力的限制，大部分学生并未针对初中数学几何习题的解题方法形成明确认识、构建完善体系，导致其几何学习出现困难，无法充分应用已掌握的学科概念参与解题活动，继而丧失学习数学的信心与积极性。在这种态势下，综合法和分析法这两种常见解题方法在初中几何解题中的应用分析就成为一线教学工作者关注的话题。

一、综合法和分析法的内涵

作为初中几何解题的常用办法，综合法主要利用已经证明过的定理与不同几何图形的具体形制推导出所要证明的内容成立；其强调正向思维逻辑下的“执因求果”，要求学生通过对图形直观分析与文字逻辑论证的深度结合，将已有的图形结构、文字条件与论证结论梳理为完整的解题过程，从而将题干信息与学科概念进行整合联系，得出结论。

相较于综合法，分析法则从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，并将证明结论转化为判定这些充分条件是否具备的问题；其强调逆向思维逻辑下的“执果索因”，要求学生通过完善的学科知识体系与逻辑思维能力追溯结论这一因素，通过反推的形式逐步整理使结论成立的充分条件，理清题目的线索链条，从而最终解决问题[1]。

二、初中几何解题教学的现状分析

初中几何习题因其内容复杂、形式多变，向来是初中数学教学中的重点与难点，也正是因此，在进行几何习题解题方法的教授时常出现以下问题：

（1）课前预习与课后复习的缺位。初中几何解题过程重视对学科概念与解题经验的调用，很多教师没有重视课前预习与课后复习的提醒，这就对学生的课前预习质量与课后复习质量提出了较高要求。现阶段部分教师在开展教学时忽视了课前预习与课后复习重要作用，难以顺利把握解题所需的学科知识与解题经验，继而导致几何解题能力缺失。

（2）缺乏让学生独立思考的完整过程。几何习题的讲解课堂多采取讲授式教学，教学过程不注重对学生独立思考能力的培养，从而导致学生的主观能动性被削弱，学生无法在思考实践的过程中自行完成课堂教学内容的吸收与消化，难以形成理解、构建思维，总结归纳能力与逻辑思考能力无法得到深入训练，学科素养的培育也就成为了空中楼阁，不利于学生的可持续发展[2]。

三、综合法和分析法在初中几何解题中的具体运用

1.综合法

例题1：在图1中，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于P，Q，PM平分∠APQ且交CD于点M，PN平分∠BPQ交CD于点N，求证：MQ = NQ。

图1

解题思路阐述：作为初中几何习题中较为经典的类型，本题重点考查学生对平行关系下角与边的相对关系的应用，因此在进行解题的过程中，可应用综合法对题干中的信息进行整合归纳，并通过逐步推理达成结果完成证明。首先，根据AB平行于CD，易得内错角∠APM等于∠DMP，∠BPN等于∠CNP；其次，根据PM平分∠APQ且交CD于点M，PN平分∠BPQ交CD于点P，可得∠APM等于∠FPM，∠BPN等于∠FPN，进而推得∠DMP等∠FPM，∠CNP等于∠FPN，三角形MQP与三角形NQP为等腰三角形，故MQ等于PQ，NQ等于PQ，即MQ等于NQ。

教学要点的分析：在进行该题目的讲解时，教师应确保学生能够获得完整的思考过程，并逐步引导学生完成平行、角平分线、三角形等相关知识的回顾与应用，以此确保完整可靠的推理流程，落实综合法的应用教学[3]。

2.分析法

例题2：在图2中，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

图2

解题思路阐述：相较于例1本题重点考查学生对平行四边形相关性质的知识的掌握程度，整体上稍显复杂，一方面题干中给予的信息较为有限，另一方面求证的信息较为笼统，难以直接展开解题。因此在实际解题过程中，可采取分析法根据需要证明的结果反推需要推理的具体条件，进而完成证明。若四边形EFGH是平行四边形，那么必有EO等于HO，FO等于GO，接下来边围绕这四条边的关系展开证明即可：首先因四边形ABCD是平行四边形，易得AO等于CO，BO等于DO，而E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点则可得AE=EO=0.5AO，CH=HO=0.5CO，BG=GO=0.5BO，DF=FO=0.5DO，因此EO等于HO，FO等于GO，证得四边形EFGH是平行四边形。

教学要点的分析：在进行该题目的讲解时，教师应确保学生对平行四边形相关性质的学科知识具有较高的掌握程度，从而使得分析法的应用更为自然。

3.综合法和分析法的结合

例题3：在图3中，三角形MNO为等腰直角三角形，∠MON=90°，点P是三角形MNO外一点，且∠MPO=45°。求证：线段MP⊥线段NP。

图3

解题思路阐述：相较于例1与例2，例题3的图形较为复杂，且题干信息较少，在进行解题时存在一定难度；因此在进行解题的过程中需要应用分析法根据线段MP⊥线段NP的结论进行解题线索的反推。若线段MP⊥线段NP，因为∠MPO=45°则需要证明∠NPO=∠MPO=45°，而结合图形的特殊性，很容易联想到利用三角形角与边的关系进行题目的进一步解析，故作线段NA⊥OP，构造直角三角形ANP并尝试证明其为等腰直角三角形。三角形ANP为等腰直角三角形的充分条件为AN=AP，证明线段长度相等的方式中符合本题需求的只有应用三角形全等的相关知识，故应继续利用辅助线构造与以AN为边的三角形NAO的全等的三角形，故作线段MB⊥OP，构造三角形MBO并尝试证明三角形MBO全等于三角形NAO。因为∠MBO=90°，所以易得∠BMO+∠MOB=90°；又因为∠MOB+∠NOA=90°，所以∠BMO=∠NOA；故根据OM=ON， ∠MBO=∠NAO=90°等条件可以运用角角边的三角形全等条件判断三角形MBO全等于三角形NAO，得到OB=AN， MB=OA；又因为∠MPO=45°，所以MB=PB，从而得到OA=PB，进而得出OP-OA=OP-PB，即AP=OB；所以AP=AN，三角形APN为等腰直角三角形，∠NPO=45°，结论得证。这就是用分析法分析思路。教学时告诉学生在写解答过程时，用综合法顺着写解题过程就是我们平时的书写过程了。解题过程如下：证明：作线段NA⊥OP于点A，作线段MB⊥OP于点B，则有∠MBO=∠NAO=∠MBP=∠NAP=90°;∴∠BMO+∠MOB=90°，又∵△MNO为等腰直角三角形，∠MON=90°，∴OM=ON，∠MOB+∠NOA=90°，∴∠BMO=∠NOA，∴△MBO≌△NAO （AAS）∴OB=AN，MB=OA，又∵∠MPO=45°，∴MB=PB，∴OA=PB，∴OP-OA=OP-PB，即AP=OB；∴AP=AN， 即△APN为等腰直角三角形，∠NPO=45°,∴∠MPN=∠NPO+∠MPO=45°+45°=90°，∴线段MP⊥线段NP。

教学要点的分析：在进行该题目的讲解时，教师应重点关注学生思路的转变与概念的互换，确保学生能够从正向、逆向两个层面解构问题，应用分析法进行思路探索，用综合法书写解答过程。

总结：综上所述，综合法和分析法作为重要的几何分析思想，其应用不仅对学生的几何解题能力有所提升，更是对其总结归纳能力与逻辑思考能力的深入训练。因此一线教学工作者在实际教学过程中应重视对学生学科能力的培养，夯实学生对学科基础概念的认识，并以此为基础鼓励学生具体问题具体分析，应用综合法和分析法对问题进行全面解构，继而提升几何解题的效率与效能，实现对学生学科能力的全面培养。

参考文献：

[1]李强.初中几何证明教学要注重“三个关注”[J].数学通报,2021,60(03):29-32.

[2]李其踊,邹键.基于思维品质灵活性的初中几何试题教学研究[J].教育科学论坛,2020(32):65-68.

[3]查书平.浅析综合法和解析法在初中几何解题中的应用[J].数学学习与研究,2019(15):142.