基于全国卷《三角函数和解三角形》高考试题的分析与探究

基于全国卷《三角函数和解三角形》高考试题的分析与探究

熊海勇

浙江省衢州第三中学 324022

摘要：2023年起浙江学生将参加全国统一命题考试。三角函数和解三角形是高考考查的重点及热点内容，通过对比分析浙江高考数学试卷和全国高考数学试卷命题的各自特点，找出全国卷命题特点，找出两者差异，为今后教学给予教学启示作用。

关键字 对比分析  命题趋势   注重全面

浙江省自 2004 年自主命题以来，具有自己独特的风格，教师在平时的教学也形成了相应的教学思路．浙江卷三角函数和解三角形放在大题第一题，以考查三角函数基本性质，解三角形中的正余弦定理的基本运用，试题以“以简单为主，常考基础知识”，试题角度单一，难度系数较低。2023 年浙江省高考将使用全国卷，全国卷中的三角试题会有何特点? 如何在平常课堂上组织教学呢?笔者通过对比分析全国和浙江近5年的试题差异，为今后教学水平给与启示。

1、全国新高考近五年《三角函数与解三角形》试题分值、考查内容统计

2、全国新高考《三角函数与解三角形》试题分布特点与命题规律分析

2.1   全国卷近5年题型情况

从近五年全国高考三角函数和解三角形试题分布特点与命题规律可以看出，每年都考，一般一小一大或二小一大。其中选择题、填空题则比较灵活，有基础题，也有中档题，近5年解答题考查解三角形，且多为中档题。题目对学生运算能力和数学素养要求较高。如2022年解三角相对较难体现在运算能力上。

2.2   全国卷近5年考查知识点

三角函数是高考考查的重点及热点内容，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题；(2)三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为的形式再研究其性质(如求ω和、单调性 、值域 、周期性 、对称性等)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，近五年主要以选择、填空题形式考查；（3）三角恒等变换主要体现在公式的变形上，尤其在解答题中更为明显。

解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关的范围问题．由于此内容知识交汇性和应用性较强，与其他知识综合、与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的关注点。

3、全国Ⅰ、Ⅱ卷与浙江卷三角函数和解三角形试题对比分析

3.1  题量、分值分析

对比表

3.2  知识点分析

基于以上分析，并深入地进行系统分析，从三个表格中不难看出，全国卷和浙江卷各自特点，并通过分析不同点，对今后教学提供帮助，给予启示作用。

3.2.1  浙江卷考查的知识点和全国卷基本一致。但浙江的三角问题以基础为主，基本以带公式，套结论基本能解决，具有一定的定式性。全国卷较为随机，考查面全，知识面涵盖广的特点。

3.2.2  全国卷三角恒等变换与命题合作紧密，且正切相关知识运用较多，统计五年全国试题考查了8题。而浙江在2020考查了一题：

例1、（2020·浙江）已知，则________；______．是一道基础题。

而纵观全国正切考查就较多了，如：

例2、【2021年甲卷文科】若，则（       ）

A．B．C．D．

例3、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）

A．–2B．–1C．1D．2

分别考查了三角恒等变换中正切的二倍角公式、两角和差公式，正弦、余弦和正切之间的转换。在高一的教学中本身相对较少，运用不多。导致学生掌握不足。

对于这块知识不足之处，应该回归课本，梳理正切相关知识，并在今后的复习和命题中增加正切相关知识的学习和运用。并做到以下三点：（1）关注公式推导，提高运算能力。（2）在理解记忆的基础上，引导学生注意观察公式的结构特征，做到对公式 “倒背如流 ”。例如，正弦二倍角公式的主要结构特征为正余弦的积 ，所以看到正余弦的积就应该想到正弦二倍角。（3）引导学生总结、积累解题经验，在三角恒等变换的过程中，往往需要综合使用相关公式，部分常数需要灵活变换，所以在解题过程中 要不断总结经验，进而形成解题的意识。

如“1”就是特别灵活的一个常数，在不同题目、不同情境中，“1”的变换是完全不同的，适当引导学生总结和归纳。

例4、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求的面积.

解：因为，，

所以，

所以，

解得或，因为，所以；

三角变换的基本解题规律为观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因)，实现转化。

3.2.2 全国卷多用字母表示数值，结果中用字母表示具体数值，这虽然不会增加计算量，但是容易给学生完成一定的心理负担，感觉题目瞬间难起来了。如：

例5、【2021年新高考1卷】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

解：（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．所以．

2021年全国Ⅰ卷第19题的第一问，初看题目没有具体数值，本题主要利用正弦定理进行边角互化，再将题干中的两个条件进行对比，非常容易证出结论。本题考查了逻辑推理、数学运算等数学核心素养，需要学生注重审题，巧用公式，合理转化方便求解。对于基础薄弱的学生很难解出。问题在哪里呢？分析浙江卷：一般的解三角形的题目，由条件可以得到一个角的具体度数或者某个三角函数值，学生形成对数敏感的定式。

针对此类情形，教学中建议，强化基本知识，既然求证的结论是含有字母的，此时的字母就是一个准确的数值。解决问题的，根本原理是不变的。

3.2.3  解三角形的考点，在全国卷中，最重要的仍然是正弦定理，余弦定理，面积公式等。这在平时教学中，需要不断强化，夯实基础。

同时，在此基础上，需要多关注图形特征，如何根据图形特征，建立方程，这在全国卷中显得更开放和新颖。2021年卷1的19题的第二问，可以用多种方法求解、变式教学。教学中建议，对于基础中等或偏弱的学生，采用常规，然后强化，用同角在不同三角形的余弦值相等，来构建等式，求解出a，c，与b的关联。对于学有余力的同学，可以通过向量方向进行思考启发，也可以通过已知条件结合正弦定理得。推导，得出图形中具备两个三角形相似，然后对应边成比例，就可以计算量比较少的得出a，b，c的关联。

从而需要我们关注多个三角形问题（出现角平分线、高线、中线等）,准确画出图形是关键，理清平面图形中的几何关系，如等腰、直角等从而得到转换关系。

3.2.4  开放题

例6、(2020年新高考I卷(山东卷)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

这类题型，看似复杂，实则入手点更多，选择余地更大，学生要从容分析知识主干及各个条件，再结合自身实际，选择其中自己相对更擅长处理的条件类型即可。

3.2.5  全国卷对于解三角形中的细节要求，严谨性上要求会更高。所以教学上，建议学生，算出结果后，记得检验一下，比如说是计算三边，那是否具备能够组成三角形的基本要求，以免出现增根。

4、全国卷三角函数和解三角形趋势分析

与浙江卷的三角函数和解三角形相比，试题命题方向发生了变化，教学过程当然也要跟着变化，再走老路变不合适了，需要做到以下几点。

4.1  在新课教学时，书本中的基础内容要熟练，同时稳中求新，不求太难，注重全面。同时注重培养运算的合理性、 科学性与严谨性.运算能力是中学生必须具有的重要的数学能力，2022年考试充分体现了对这一重要能力的要求是高层次的。通过分析运算的式子或运算的特点来调整运算思路.

4.2  2023届学生在高一的三角函数和解三角形的教学中还是按老思路教学，知识点在教学过程中有相对偏差，在复习过程中注重对遗漏知识点的关注， 查漏补缺，做到全面。教材中的每一个教学内容都是高考的命题内容，今年没考不代表不重要，或许它在下一年被命题的可能性会大增。需结合前几年全国卷知识考查细目表，发现全国试题不回避考查过的知识点，此时更需要我们在平常教学中做到全面，不遗漏任何一个知识点。

4.3  需注重知识与应用的创新性、开放性、研究性，除记住定义、定理及性质，记住二级结论，应当从的实际基础出发，以核心素养为引导，让学生能够在复习的过程中温故而知新，从而帮助学生建立自身的知识体系，同时也让学生形成各个知识点之间的联想记忆，促进学生的知识理解。

参考文献：

[1]谢广喜.2020年高考三角函数命题预测[J].广东：广东教育·高中，2020

[2]罗文军.2022 年高考解三角形考点预测[J].广东：广东教育·高中，2022

[3]韩红军.高考全国卷《三角函数与解三角形》命题规律分析与展望[J].西藏：教学考试，2018

[4]张何姐.探究在新高考背景下解三角形专题的教学方法[J].北京：天天爱科学(教育前沿)，2021