浅谈矩阵的实际应用

 浅谈矩阵的实际应用

于利萍吴技莲 柴幸

河南工业大学理学院 河南 郑州 450001

【摘要】矩阵是线性代数的重要组成部分之一。了解矩阵在实际生活中的应用可将理论知识与应用相结合，引领学生融会贯通，加深对概念的理解，同时有益于理解数学其他分支与课程。本文通过实例详细阐述了矩阵和实际生活联系的密切联系，进而说明线性代数应用的广泛性。

【关键词】线性代数，矩阵，应用

线性代数作为高等院校理工科学生必                                      

修基础课之一，其理论和方法普遍应用于    

数学的各个方向[1-4]。线性代数课程主要讲授行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与线性空间等知识[5]。通过对有限维空间线性理论课程的学习，培养学生抽象性思维和逻辑性思维，让学生学会使用抽象的思维方式观察周围的事物, 并用逻辑性思维分析和解决现实世界中的实际问题，同时为学习算机科学、物

理学、力学等其他专业课程打下坚实的基

础。

   矩阵作为线性代数的基本内容之一，它

不仅在线性代数理论知识的学习中作为基础工具之一，在其他领域中也有着广泛的应用。通过了解矩阵在生活实例中的应用，

可将抽象理论具体化，加深学生对概念的理

解，锻炼学生应用数学知识处理问题的能力。

一 矩阵在实际生活中的应用

（一）矩阵的基本知识

1.定义: 由个数排成行 列的数表，称为行 列矩阵，简称矩阵，并用大写黑体字母表示，记作

数是矩阵的 元，矩阵可简记为

或，矩阵也记。

2.运算规律

矩阵的加法：设有两个矩阵和，那么矩阵与的和规定为

。

矩阵的乘法：设有矩阵和矩阵，那么矩阵与的乘积规定为，其中 。

（二）矩阵的应用

1.飞机航班问题

例1： 某航空公司在四座城市之间的航线图如下：

记

   图 1 四个城市之间的单向航线图

四个城市之间的单向航线图可用一个矩阵来表示，记为矩阵A

那我们基于矩阵的运算就可以解决以下两个问题。

问题1：从第3个城市到第2个城市若中间转1次机，有几条航线？

问题2：从第2个城市到第1个城市中间至多转1次机，有几条航线？

分析：对于问题1，若求从第3个城市到第2个城市转机一次的航线次数，表示从中间某一个城市作为起点再次出发寻找到第2个城市的航线，从而相当于在原来矩阵的基础再乘以一个矩阵，进而有如下表示

可得若中间转机一次，从第3个城市到第2个城市有2条航线，即城市3到城市1再到城市2，或城市3到城市4再到城市2。

对于问题2则需要寻找从第3个城市到第2个城市中转1次和直达的总航线数，从而需要将直达与上述转机一次的航线数加起来，即表示为

备注：图论中邻接矩阵中的元素都是用0,1来表示是否连通（0：不连通，1：连通），即代表是否存在方法使得一步从点i走到点j。 其次，表示从点i走到k再走到j是否可行。因此就是统计用2步从i走到j的方法总数，换而言之即从城市i到城市j转机一次的方法。则统计至多用n步从i走到j的方法总数，即从城市i到城市j至多转机n次的方法。

2.基于矩阵理论对信息进行加密问题

密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程称为加密，反之为解密。

例2： 假设26个英文字母与数字之间有如下的一一对应关系：

将单词从到右，每3个字母分为一组，并将对应的3个整数排成3维的列向量，加密后仍为3维的列向量，不足三个字母的用0补上。

例如，若要发出信‘cheerful’，信息编码为 3, 8, 5, 5, 18, 6, 21, 12，可以写成一个矩阵B

现任选一个三阶可逆矩阵，如

将要发出的信息经过乘矩阵A 变成密码发出

在收到信息 C后，可用矩阵A的逆矩阵再进行解密，称之为解密的钥匙，即

从密码恢复成明码

反过来查表即可得信息‘cheerful’。选择不同的可逆矩阵，则可得不同的密文。类似的，也可以基于矩阵乘法进行图像的加密。若对加密矩阵进行微小的变化，则解密后的矩阵变化很大，不能恢复原始图像。

3.种群繁衍预测问题

在一个封闭的生态环境中，假设有兔子与狐狸两种动物。在没有狐狸的情况下，现有兔子T0一年增长10%，在没有兔子的情况下，现有狐狸H0一年减少15%。而当狐狸和兔子处于同一环境下，狐狸吃兔子，狐狸数增加，兔子数减少。这时有线性模型如下：

假设开始时有兔子、狐狸的数量分别是100只和80只，问：

（1）一年后，两种群有怎样的生存数量？

（2）十年后的种群数量，以及最终两种群是否趋于一个“稳定状态”？

分析：对于方程组

记系数矩阵A

种群数量

则

，由于计算工作量大，这里可将之转换为矩阵特征值与特征向量的计算。

易求得矩阵A的特征值相应的特征向量则

。因为任意三个二维向量都是线性相关的，从而可用表出

基于此，

当时，

最终，两种群会趋向于共存稳定状态。

二 结语

本文主要介绍了矩阵理论在飞机航班转机、信息与图像加密以及种群繁衍预测中的应用。随着科学技术的迅猛发展，线性代数在计算机，计算机图形，计算机辅助设计，密码学，虚拟现实等技术中发挥了重要作用。因此，任课教师在教学中可以根据学生的专业对线性代数理论进行灵活讲解，使得学生能够对线性代数课程产生兴趣，知晓数学知识在生活中的切实应用。

参考文献

[1]吴明月, 李万东, 汪波, 等．矩阵与线性变换几何意义的教学探索[J]．高师理科学刊, 2018, 38(7): 61-64.

[2]孙维昆．基于符号计算软件的特征向量概念的几何实现[J]．高师理科学刊, 2017, 37(8): 77-80.

[3]汤燕. 矩阵在密码学中的应用[J]. 科教文汇, 2010, 8: 83-84.

[4]莫志浩. 浅谈线性代数在实际生活中的应用[J]. 教育现代化, 2017, 13: 149-150.

[5]同济大学数学系．线性代数[Ｍ]．6版．北京：高等教育出版社, 2014.

【基金项目】

本文系：河南省自然科学基金(232300420346)、

河南工业大学理学院本科教学研究类项目（lxyjy202317）

河南工业大学青年骨干教师培育计划