利用“数理”模型，巧解“子夜太阳高度角”

利用“数理”模型，巧解“子夜太阳高度角”

金章

      浙江省瓯海中学    32500

摘要：高考试题中“子夜太阳高度角”一直是教学的难点，本文突破传统的“公式法”，巧用数学与地理相结合的“数理”法，构建三种空间模型，拓宽解题的思路，发现规律并理解规律，培养学生自主探究的地理实践力，提升地理学科素养中的综合思维能力。

关键字：子夜太阳高度角   正午太阳高度角     天球     地球运动

近几年浙江省高考地理选考卷中，“地球运动”知识点一直作为最后几道压轴题考查。所选题目中，“太阳高度角计算”考点考查的频率较高，具有典型性和综合性。尤其是极昼地区“最小太阳高度角（0时的子夜太阳高度角）的计算”是教学的“难中之难”，对学生的“综合思维”能力要求较高。本文以浙江高考试题——“子夜太阳高度角”的计算为切入，以学科素养和课程标准为导向，基于教材基础知识，跨学科调动已有知识，利用地球坐标构建“数理”空间模型，在探究过程中发现并创新几种除常规法以外的解题方案，为提升地理实践力和综合思维能力提供教学建议。

一、问题的提出

（2020年1月浙江高考真题）下图为甲地观测到的正午、子夜太阳高度年内变化示意图。完成下面小题。

19．若h为11°，则该地夏至日正午太阳高度为（    ）

A．18°         B．23．5°

C．29°        D．34．5°

【常规法分析】

（1）公式法：甲地为北半球极昼地区（设纬度为X°），利用正午太阳高度角的计算公式可得：H正午=90°－|X°－23.5°| ，再推导出子夜的太阳高度角H子夜=90°－|180°－X°－23.5°| ，最后通过H正午－H子夜=h=11°，得出X°=29°

此方法的缺点是：需要学生计算出子夜点与直射点所在纬度之间的纬度差。很多学生考虑到绕过北极点，到子夜所在的经线，就不知道如何算出纬度差。

（2）口诀法：利用极昼地区太阳高度角的最大值与最小值的“差和”口诀，即

“H正午＋H子夜＝2×直射点纬度”和“H正午－H子夜＝2×当地纬度的余角”，将两者相加可得H正午=29°

此方法的缺点是：很多学生会将口诀漏记或错记，并且只知其一，不知其二，没有理解规律的由来，只会盲目地套用公式口诀，限制了学生思维的拓展和知识的深化，很难再进行推算和举一反三。

为此，是否还有其他几种可操作、更简易的方案可以解决这个问题，并帮助学生能自主探究和理解地理规律？

二、建“数理”模型

模型1.平行线空间模型

【原理】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等。

例1.直射点纬度为α，极昼地区O地纬度为β，求O地的子夜太阳高度角。

【推导过程】

延长EO线至H点，过O点作地平面AB⊥EH；再过O点作太阳光线OC，则∠BOC为子夜太阳高度角（见图1）

（1）同位角法

∵太阳光线都是平行光，即DC∥EF

∴∠HOC＝∠OEF（同位角相等）

又∵∠OEF＝180°－β－α

∴∠HOC＝∠OEF＝180°－β－α

∴子夜太阳高度角∠BOC

＝90°－∠HOC＝α＋β－90°

（2）内错角法

∵太阳光线都是平行光，即DC∥EF

∴∠DOE＝∠OEF（内错角相等）

又∵∠DOE＝∠HOC（对顶角相等）

∴∠HOC＝∠OEF＝180°－α－β

∴子夜太阳高度角∠BOC＝90°－∠HOC＝α＋β－90°

模型2.三角形空间模型

【原理】三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

【推导过程】

延长AB线与EF的延长线相交于M点（见图1）

∵AB⊥EH   ∴ΔEOM是直角三角形，∠AOE＝90°

又∵∠AOE＝∠OEM＋∠OME（三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）

 ∴∠OME＝90°－∠OEM

又∵∠OEM＝180°－β－α  ∴∠OME＝α＋β－90°

∵DC∥EF   ∴子夜太阳高度角∠BOC＝∠OME（内错角相等）＝α＋β－90°

模型3.量角器空间模型

【原理】某点的太阳高度角等于当地距太阳高度角0°等值线的圆心角度数。

【思路分析】

依据夏至日正午和子夜太阳高度角随纬度变化的规律，得出太阳高度角由直射点所在纬度的90°向南北两侧逐渐递减为0°的规律，类似量角器从90°递减为0°。即只要知道太阳高度0°所在的点（晨昏圈与刚出现极昼的纬线圈相切的点），通过当地与该点之间的圆心角之差可以得知子夜或者正午太阳高度角。（该原理也适用于其他时间的太阳高度角计算）

例2.太阳直射20°N时，求80°N的子夜和正午太阳高度角。（见图2）

【推导过程】

由图已知：α＝20°N，β=80°N,O和O‘两地都位于80°N纬线上，P地位于极昼圈（刚出现极昼的地区）与晨昏圈相切的点上，则P地此时子夜太阳高度角为0°，∠PEN＝∠FEG＝α（直角的余角相等），P地纬度＝90°－∠PEN＝70°N

O和O‘两地都位于80°N纬线上，根据“量角器”原理可得：

该纬线上的子夜和正午太阳高度角分别为∠PEO和∠PEO’。

∠PEO＝∠PEN－∠OEN＝α-当地纬度的余角＝α－（90°－β）＝10°，可知80°纬线的子夜太阳高度角为10°。

同理，∠PEO’＝α＋当地纬度的余角＝α＋（90°－β）＝30°，即80°纬线的正午太阳高度角为30°

【小结】

极昼地区，子夜太阳高度角=直射点纬度－当地纬度的余角

正午太阳高度角=直射点纬度＋当地纬度的余角

三、结论及应用

“数理”空间模型即在地球坐标上构建数学与地理的空间模型，在此基础上演绎“子夜太阳高度角”计算的推导过程，由此得出日常解题中的求导公式和规律，但在实际操作中具体使用哪一种可以对几种模式进行优劣比较。

以上解题模型和方案，可以适当地在课堂教学和课后作业中以问题引导式设计学案，引导学生们自主构建太阳高度角的空间计算模型，自主探究与总结规律，最后予以呈现与评价。尤其是最后这两种模型，虽然在日常解题和教学中不是特别常见，但是在提升学生探究能力和提升解题速度方面有较大的实践价值，能很好地培养学生地理学科素养中的综合思维。

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