小学数学建模思想的构建与应用——以北师大版四年级上册第四单元《乘法分配律》为例

小学数学建模思想的构建与应用——以北师大版四年级上册第四单元《乘法分配律》为例

徐道明

惠州市第六小学   邮编： 516000

摘要：新课程标准（2022年版）指出，小学数学的课程教学要想真正推动学生的发展，就必须要把学生核心素养的培养放在首位，其中学生建模思想的培养尤为关键。在小学数学教学过程中潜移默化地逐渐渗透数学建模思想，有利于学生数学思维的形成，便于他们运用所学数学知识解释相关现实问题。本文主要结合北师大版小学四年级上第四单元乘法分配律的相关内容，对数学教学环节学生建模思想的培养进行探讨，培养学生的数学建模能力，帮助学生将所学知识应用于现实生活，使学生的数学核心素养得到全面发展，有效提升学生数学素养。

【关键词】 小学数学；建模思想；数学建模

一、数学模型的概念

数学模型是应用于思想领域中的一种方法，是指在数学学习阶段，对某一事物的系统性特征或者是其中存在的数量关系进行概括或类似表述的一种数学结构。数学模型是以抽象或简化方式表达数学问题，运用数学专用语言对其规律进行总结和概括，创建与之相匹配的模型，并加以利用解决与之相关或类似的问题。数学模型思想在数学问题和实际问题之间搭建起一个联系纽带，是数学问题得以解决的关键。

二、培养数学建模思想的意义

《义务教育数学课程标准（2011年版）》前言中总结到：“模型思想为学生在数学与外部世界之间搭建起一个理解平台。”所以，建模这种方法是中小学生必须掌握的基本技能。小学数学课程中含有大量的模型思想，主要包括数量关系、数学结构、符号语言、几何图形等，所以在小学阶段渗透数学建模思想对学生学习和掌握数学学科至关重要。

数学建模思想作为一种全新的教学方式，涵盖着较全面的系统性内容，不仅有全新的教学方式和教学策略，同时还包含着独特的教学指导思想，能使小学阶段的数学教学变得更加系统和完善，从各方面得到升级和优化。

三、数学建模思想的教学实践与应用

乘法分配律是北师大版数学四年级上册第四单元运算律中第五节的内容。这一内容因为运算符号、运算顺序比较复杂，一直都是运算律教学中的难点。学生较难理解其本质，难以建立正确的数学模型。

在数学建模课堂中主要形成以下的教学模式，即模型准备、建立、求解、验证和反馈阶段（如表2）。

         →            →            →             →

表2

1. 准备阶段—初步感知模型

    数学建模的起点是情境，情境的选择决定了建模的结果，因此在建模的数学教学课堂中，需要设置正确的情境，激发学生的建模意识。情境的设定需要符合学生的认知发展规律，贴合学生的生活实际，或者结合学生的已知经验，激起学生学习数学的好奇心和求知欲。

在本课学习中，首先借助学生熟悉的生活情境，引入乘法分配律。先出示情境图（如图2），吸引学生的注意力，让学生对话题感兴趣。再让学生观察，找出相关的数学信息，提出数学问题——工人叔叔一共贴了多少块瓷砖？你是如何计算的？有多少种计算方法？引导学生从多方面讨论问题，找解决方法。

图2

2. 建立阶段—构建数学模型

   建模就是以特定题目为核心创建模型，在这一过程中运用抽象手段把应用问题演变为数学问题。模型思想为学生在数学与外部世界之间搭建起一个体会理解平台。

   课堂刚开始时，根据提出的数学问题:一共贴了多少块瓷砖，让学生们小组讨论，列出各种不同的算式，再进行总结。

方法一： （根据瓷砖的颜色来计算）白色的块数+蓝色的块数

         3×10+5×10=80（块）

方法二：（一列中白色和蓝色瓷砖总块数）竖排块数×横排块数

        （3+5）×10=80 （块）

方法三： （根据墙面位置来计算）左边的块数+右边的块数

         4×8+6×8=80（块）

方法四： （一行中瓷砖总块数）横排块数×竖排块数

         （4+6）×8=80（块）

    通过小组讨论和总结，在以上四种不同算式的基础上，分别两两一组，让学生对写出的算式进行横向和纵向的观察和比较，感知乘法分配律的特征，初步构建数学模型。

第一组：（3+5）×10 = 3×10+5×10

第二组：4×8+6×8=（4+6）×8

3. 求解阶段—形成数学模型

    学生需要找出题目中各个数量之间的关系，并将这些关系转化成模型图，这就是一个抽象建模的过程，需要将实际的应用问题转化为数学模型。

在前面两组算式的基础上（如图3），引导学生用a，b，c代表不同的三个数进行总结，即：(a+b) x c = a x c + b x c，得出乘法分配率的数学模型为两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

图3

4. 验证阶段—验证数学模型

验证模型阶段是在完成解答后的一步，学生通过思考构建出模型，在通过学习方法而求解出结果后，需要验证所得模型是否正确。在这一阶段，可以给出适当练习题，比如让学生结合4 x 9 + 6 x 9这个算式，用之前所学的多种方法验证乘法分配律是否成立。

（1）点子图法（如图4）

一共（4+6）列，9行；列式为（4+6）x 9

图4

（2）图形面积法（如图5）

           图5

图中阴影部分长方形的面积可以用a x c表示，空白长方形的面积可以用b×c表示，所以大长方形的面积是阴影部分面积加空白部分面积，即a x c+b x c = ( a+b) x c。

（3）归类法

=  (a+b) + (a+b) +......+( a+b)

c个(a+b)

         = (a+a+......+a) + (b+b+......+b)

                c个a        c个b 

5. 反馈阶段—应用数学模型

    在确定建立起来的模型的正确性后，便进入模型的反馈阶段。这一阶段的重点是巩固创建的模型，并加以练习，要为学生营造与之类似的问题情境，分析学生的反馈信息进而对是否理解这类问题模型进行判断，是否真正建立起数学模型。乘法分配律的数学模型构建并验证好后，就需要给出相对应的练习，通过计算，让学生真正掌握该模型。

（1）观察(80+4) x25的特点并计算。

(80+4) x 25

= 80×25+4×25

=2000+100

=2100

（2）观察34×72+34×28的特点并计算。

34 x72+34 x28

   =34 x (72+28)

   =34 x 100

   =3400

    需要注意的是，当出现(a + b) x c的情况时，如果a x c与b x c计算起来都很简便，就可以转化成a x c + b x c来计算；当出现a x c + b x c的情况是，如果a与b的和是一个整十、整百、整千......的数，就可以转化成(a + b) x c来计算。同时，模型反馈阶段设计的练习题不宜过多，不建议搞题海战术，适量就好，培养学生的数学学习兴趣和巩固数学模型。

四、结束语

综合所述，在小学阶段对学生渗透建模思想和进行数学建模教学，通过将实际问题数学化和抽象化，并进行提炼和归纳，数学模型在构建过程中不但可使学生逐步养成数学建模意识，还可对数学知识中的各种数量关系进行简化处理，建立知识内在体系，提高学生针对实际问题的解决意识和能力水平，而且能辅助学生理解数学知识的内涵，增强数学素养。

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