基本图形分析法在初中数学几何解题中的应用

基本图形分析法在初中数学几何解题中的应用

姚征一

深圳市宝安区龙田学校  广东 深圳  518108

摘要：本文通过对几何基本图形的提炼和分解组合、对图形、符号与文字三种语言间的转换、运用几何基本图形理解定理与性质、正确添加辅助线等角度探讨如何应用基本图形分析法，来帮助学生打开解题思路,找到解题方法。

关键词：初中数学；结合基本图形；添加辅助线；图形分析法；解题思路

一、基本图形分析法的概念

什么是基本图形？笔者认为，基本图形是揭示最基本的问题结构及数学联系的图形，象有关的几何概念、定理、公理、推论以及重要习题所对应的图形都可以作为几何基本图形。在复杂的几何问题中，图形中同时呈现的各个部分经常对我们快速识别问题的本质结构和内在联系造成干扰，面对纷繁复杂的条件，不少同学常常束手无策。如果有意识地积累一些基本图形，利用基本图形分析复杂的几何问题，探索解题思路，常常会有意想不到的奇效，我们把利用基本图形分析解决几何问题的方法称为基本图形分析法。其基本模式为：

其中，把复杂的几何题通过图形分解、组合或添加辅助线形成基本图形是运用这种方法的关键。

二、利用定理所对应的基本图形

课本中的概念、定理、公理、推论所对应的图形，如平行线、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等图形的性质与判定所对应的图形都是常用的基本图形。

【例1】 如图1，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠D=130°，求∠BAC的度数

分析：由已知条件中可分离出“圆内接四边形”与“直径所对的圆周角”两个基本图形，很容易得到∠B=50°，再从直角三角形中求出∠BAC=40°。

【例2】如图2，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长AB至E，使得BE=DC，连接CE，求证：CE=CA

分析：从已知图形中分离出“等腰梯形的对角线”与“平行四边形”两个基本图形，显然有DB=CA、DB=CE，得证CE=CA。

三、从习题中提炼基本图形

课本中出现的典型例题（习题）所对应的图形、以及在几何解题中经常遇到的图形，也可以看作是基本图形，如：

【例3】如图3，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=DC=BC=4，AD平分∠DAC，∠D=120°，求梯形ABCD的面积．

分析：把题目中的图形分解成“等腰梯形”、“角平分线与等腰三角形”与“直角三角形及其斜边上的高”三个基本图形，先结合前面两个基本图形求出∠B=∠DAB=60°，∠CAB=30°，得到∠ACB=90°，再在第三个基本图形中容易求出AB=8，CE=，最后可以求梯形ABCD的面积为。

【例4】如图4，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线

分析：观察题中的图形，结合已知条件可分离出“等腰三角形与平行线”、“全等三角形”、“圆的切线与半径”三个基本图形，先证得∠COB=∠COD，再证△COB≌△COD，得到∠CBO=∠CDO=90°，所以CD是⊙O的切线。

四、添加辅助线构建基本图形

复杂的几何图形中较难分解出基本图形或分解不彻底，就可以通过添加辅助线的方法构造出起主导作用的基本图形。

【例5】如图5，AB是∠CAD的平分线，BC=BD，求证：∠C=∠D

分析：显然要直接证明△ABC≌△ABD不可能，如图6添加辅助线BM、BN后，可分解出“角平分线”与“全等三角形”两个基本图形，先由角平分线性质得到BM=BN，再证△BCM≌△BDN，从而得证∠C=∠D。

【例6】如图7，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N是对角线AC、BD的中点，求证：MN⊥BD

分析：点M是Rt△ABC与Rt△ADC的斜边的中点，如图8连结BM、DM后，可分解出“直角三角形斜边上的中线”与“等腰三角形”两个基本图形，先得到BM=DM=AC，再从等腰三角形的性质证得MN⊥BD。

四、结语

在复杂的几何问题中，基本图形就是整个问题的纲，只要学生熟练掌握了基本图形的特征，就能够在复杂的几何图形中快速识别出基本图形，再对各个基本图形中的相关信息，通过“等量代换”、“角的关系”等桥梁进行选择组合，对学生分析问题、解决问题起到积极的作用。

参考文献：

[1] 雷  玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社，2008.

[2] 席高文,许梦日.中学几何教学与研究[M].郑州大学出版社，2007.