注重发散思维训练，培养学生创新能力——“直线和圆的方程”教学体会

注重发散思维训练，培养学生创新能力

——“直线和圆的方程”教学体会

张亚花

福建开放大学职业学院

摘要：本文以中等职业学校《数学》第8章“直线和圆的方程”为例，介绍了在“直线和圆的方程”中如何通过例题和专题训练进行发散性思维训练，来培养学生的创新能力。在教学中采用多种教学方法和手段，充分调动学生的学习积极性，激发学生学习兴趣，发散学生思维。引导学生多角度理解问题，注重一题多问，一题多解，举一反三，使学生能够更好地理解并掌握“直线和圆的方程”的相关概念、公式定理，更快地解决相关数学问题，并在解决问题的过程中掌握新的数学知识，提高分析问题解决问题的能力，培养学生创新思维和创新能力。

关键词：中等职业学校；直线与圆的方程；数学课堂教学；发散思维；创新思维；创新能力

发散思维是指在没有确定性问题或没有唯一答案时，通过多种角度和方法来寻求多种可能的答案的思维方式，可以帮助学生打破局限性，激发创造力和创新能力。

中职数学教育是培养创新人才的重要途径，注重中等职业学校学生发散思维的训练，有利于开阔学生的学习视野，对提高学生的学习积极性，培养学生学习的独立性、创造性等具有十分重要的作用，在中职《数学》教学中如何注重发散思维训练，培养学生的创新能力呢？

本文将以“直线和圆的方程”为例，探讨课堂教学中如何注重发散思维训练和培养学生的创新能力。

1.创设问题情境，引导学生主动思考和解决问题

为了刺激学生的发散思维，可以在课堂上创设问题情境，引导学生自主思考问题并提出解决方案。在“直线和圆的关系”教学中，我先用PPT展示海边观日出的图片并提出以下问题：太阳从海面上冉冉升起！把太阳看作圆，海平线看作一条直线，体现了圆和直线的几种关系?学生回答：相交，相切，相离三种关系。通过照片直观展示，让学生的思维活跃起来。

2.通过多媒体展示，激发学习兴趣，发散学生思维

利用几何画板画出直线和圆的图像，通过动画模拟演示，探究直线与圆的三种位置关系，体会数形结合思想。随着圆心到直线的距离不断变大，直线和圆的相交、相切、相离动起来。通过创设有趣的多媒体情境，既满足了学生的兴趣需求，又从实际出发锻炼了学生的思考能力，为学生发散性思维和创新思维、创新能力的形成奠定了良好的环境基础。

3.鼓励学生探索多种可能性和解决方案，培养创造力和创新能力

为了激发学生的想象力和创造力，可以鼓励学生探索多种可能性和解决方案，从而创造出新的想法和发现。在研究直线和圆的关系中，既可以用几何方法根据直线与圆有几个交点来判断直线和圆的三种关系；也可以用代数方法来解方程组，把直线方程代入圆的方程，得到一个一元二次方程，通过一元二次方程的判别式与0的大小关系来确定直线和圆的三种关系；还可以用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系来判断直线与圆的三种关系。

已知直线方程，圆的方程：

圆心C(a,b)到直线的距离公式：

直线与圆的三种关系如下：

4.注重一题多变，训练发散思维

发散性思维的形成，有利于学生在解决问题时，提出更加准确的质疑与想法，以获得新的数学思想与解决思路。教师在教学时通过一题多变的训练方式引导学生打开思路，放飞思维，以形成多元化的思维能力，使学生思维进入更加广阔的思维佳境。以“直线与圆的方程”复习为例，教师可以引导学生多向发散思维，培养其思维的多变性和发散性，为知识的学习与延申奠定良好的基础，提高学生的创新思维和创新能力。

例如：已知平面上两个点A(1,-1)和B(5,7)，下面提出20个问题（要求学生课后自己继续延申，可以提出十万个为什么？）来帮助学生复习“直线与圆的方程”的相关知识：（顺便复习向量的有关知识）

⑴求的坐标

⑵求的坐标

⑶

⑷求

⑸求线段AB的中点C的坐标。

⑹求。

⑺求。

⑻求。

⑼判断直线AB是否经过原点（判断A,B,O是否再同一条线上）？

⑽求AB线段的垂直平分线方程。

⑾求原点到直线AB的距离。

⑿求经过原点且与直线AB平行的直线方程。

⒀求经过原点且与直线AB垂直的直线方程。

⒁求经过A,B,O三点的圆的一般方程和标准方程。

⒂求以AB为直径的圆的标准方程。

⒃求以AB为半径，以A为圆心的圆的标准方程。

⒄求以AB为半径，以B为圆心的圆的标准方程。

⒅判断原点与以AB为直径的圆的关系。（圆内，圆上，圆外？）

⒆求经过以AB为直径的圆上的点D(7,1)的切线方程。

⒇求经过原点且与直线AB平行的直线被以线段AB为直径的圆所截的弦长。

……

在复习课教学中要鼓励学生多思广想，多疑善解，学生的思维就会闪耀出新奇与独特的智慧火花。提出一个问题，要求学生从不同角度，不同方位快速联想，发散，激发思维，打开思路，使学生从“知识的点”发展到“知识的线和面”乃至整个数学空间。对数学相关知识的变换和延伸有如枝叶蔓衍，纵横交错，有助于学生达到举一反三，触类旁通的教学境界，达到教师对学生既要“授之以鱼”，更要“授之以渔”的真正目的。

5.重视一题多解，强化发散思维

在课堂教学中，教师不但要引导学生注重一题多变，还要重视一题多解，举一反三，通过训练，起到拓展知识的作用，悟出解题的规律，跳出“题海战术”，使学生真正学会学习。在例题教学或复习小结时，通过一题多解训练，不仅可以打开学生的数学思维，挖掘学生的解题潜能，同时也提高了学生分析问题解决问题的能力，进一步提高学生的创新思维和创新能力。例如上面的⒆.已知平面上两个点A(1,-1)和B(5,7)，求经过以AB为直径的圆上的点D(7,1)的切线方程。

解法1：求线段AB的中点即圆心C的坐标为（3，3），连接CD,求CD的斜率，,则切线的斜率，根据点斜式方程，得过点D(7,1)的切线方程为，化为一般式方程：2x-y-13=0。

解法2：求线段AB的中点即圆心C的坐标为（3，3），再求AB两点间距离的一半即圆的半径。设切线的斜率为k，根据点斜式方程,求出过D(7,1)的切线的方程为，化为直线的一般式方程为，再求出圆心C(3,3)到直线的距离，令d=r,，求出切线的斜率k=2,把k=2代入，得切线方程为2x-y-13=0。

6.反复训练,培养思维的发散性，提高创新思维和创新能力

学生发散思维能力的培养，不是靠一两次的练习、训练所能奏效的，需要反复训练，多次实践才能完成。由于学生思维方向常是单一的，存在某种思维定势，所以不仅需要进行反复的训练，而且要注意引导学生从不同的方向去思考问题，培养思维的多向性发散性。发散思维训练教学中，注意结合学生的心理特点和认识水平，从不同角度、不同层次、不同侧面有目的、有针对性地不断设计组编一些探索型、开放型、判断改错型、归纳与综合型等题目，为学生提供多种类型的思维训练素材，这是发展学生的发散思维能力所不可缺少的。这就要求教师注重挖掘课本典型题例的潜在功能，充分发挥它的导向、典型、发展和教育作用，反复渗透与运用数学思维方法，把数学知识融入活的思维训练中去,并在不断的“问题获解”过程中深化、训练发展学生的发散思维，提高学生的创新思维和创新能力。