导数与函数的单调性

导数与函数的单调性

苏高强

陕西省榆林市横山区第四中学 719100

摘要：“导数与函数的单调性”一直以来都是高考命题的热点之一。在考查学生时，不仅需要他们具备直观想象力，还需要运用数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。这种考查方式旨在评估学生对于函数变化规律的理解程度，以及他们解决复杂数学问题的能力。因此，对于学生而言，理解导数与函数单调性之间的关系不仅是提高数学成绩的关键，也是培养综合素养的重要途径。在教学中，教师应该注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

关键词：导数；函数的单调性；教学设计

导数与函数的单调性是数学课程中的重要概念，它们之间的关系对于理解函数的变化规律和求解实际问题具有重要意义。在教学中，如何有效地引导学生理解和应用导数与函数单调性的关系，是提高学生数学素养和解题能力的关键之一。因此，笔者旨在通过教学目标设计和观察设计，探讨导数与函数单调性的关系，并提供一种逐步深入理解和掌握该关系的方法。

一、教学目标设计

（一）掌握函数单调性与导数的关系

函数的单调性与导数的符号有密切的联系[1]。在函数的增减性问题中，常常通过研究函数的导数来确定函数的单调性。具体而言，当函数的导数大于零时，函数在该区间上是单调递增的；当函数的导数小于零时，函数在该区间上是单调递减的。而当函数的导数等于零时，函数可能存在极值点，从而导致函数的单调性发生改变。因此，掌握函数单调性与导数的关系对于解决函数的增减性问题具有重要意义。

（二）判断ｆ’（ｘ） ≥０（或ｆ’（ｘ）≤０）是否恒成立

求可导函数的单调区间是微积分中的基本问题之一。在教学中，教师需要回顾求可导函数单调区间的基本步骤，并特别强调判断导数是否恒大于等于零（或小于等于零）的情况。这一步骤是确定函数单调性的关键，也是解决函数增减性问题的基础。

（三）通过高考真题逐层深入的递进式训练

通过高考真题逐层深入的递进式训练，学生可以逐步掌握求导后化为一次型、乘积型、二次型函数的单调区间求解方法。这种训练方式不仅可以帮助学生巩固基础知识，更重要的是可以培养他们的解决问题的能力和应对考试的技巧。在逐步深入的过程中，学生不断接触到不同类型的问题，从简单到复杂，从而能够更全面地理解导数与函数单调性之间的关系，并学会如何灵活运用所学知识解决各种变化多样的数学问题。这种训练方式不仅对于高考备考有益，也对学生的数学素养和综合能力的培养具有重要意义。

二、教学观察设计

（一）分析教学要素,明确基本问题

在教学中，分析教学要素并明确基本问题是确保教学有效性的重要步骤。首教师需要深入了解教学内容，包括导数与函数单调性的相关概念、定理和方法。导数代表函数在某点的变化率，而函数的单调性则描述了函数在某个区间上的增减情况。通过分析这些内容，教师可以确定教学的重点和难点，为学生理解和掌握提供指导。此外，明确教学目标也至关重要。教师需要明确考察学生在学完这一内容后是否能够达到应有的认知水平和能力水平[2]。

例如，教师在教学北师大版中《导数与函数的单调性》的相关课程时，要确保学生能够准确理解导数与函数单调性的关系，并能够运用导数求解函数的单调区间。通过设定清晰的教学目标，可以更好地组织教学内容，提高教学效果。针对导数与函数单调性的教学，教师可以采用讲解、示例演示、练习训练等多种方法相结合的方式。教师可以通过几何直观、图像分析等方式帮助学生理解导数与函数单调性之间的关系，进而引导他们进行求解实例。不同学生具有不同的学习风格、能力水平和兴趣爱好，因此教师需要根据学生的特点灵活调整教学策略。对于善于理解概念但不善于应用的学生，可以增加实例分析和练习题的数量，以加强他们的实际运用能力，为他们的数学学习打下坚实的基础。

（二）分解单元目标,划分学习阶层

在教学中，分解单元目标并划分学习阶层是确保教学有序和高效的重要步骤。通过将整体目标分解为具体、可操作的小目标，可以更好地引导学生逐步掌握知识和技能，提高他们的学习效率和成绩。以下将以导数与函数单调性为例，介绍如何分解单元目标和划分学习阶层。

例如，教师在教学北师大版中《导数与函数的单调性》的相关课程时，整体目标是让学生能够理解导数与函数单调性的关系，并能够运用导数求解函数的单调区间。针对这一目标，可以将其分解为以下几个小目标：

理解导数的概念和意义：学生首先需要明确导数的定义和几何意义，即函数在某一点处的变化率，教师可以通过图像、实例等方式帮助学生理解导数的意义。

掌握导数的计算方法：学生需要学会求导数的基本方法，包括常见函数的导数公式和求导法则。教师可以通过练习各种函数的导数计算，使学生掌握求导的技巧和方法。

理解函数单调性与导数的关系：学生需要理解导数与函数单调性之间的关系，即导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。教师可以通过实例分析，让学生看到导数曲线与函数单调性之间的对应关系。

运用导数求解函数的单调区间：学生需要学会利用导数求解函数的单调区间，从而确定函数的增减情况。教师可以通过实际问题或高考真题，让学生运用导数求解函数的单调区间，从而解决实际问题。

在划分学习阶层时，教师可以按照难易程度和逻辑关系进行划分，从简单到复杂地引导学生逐步掌握知识和技能。先从导数的概念和意义入手，然后逐步引入导数的计算方法，再深入讨论导数与函数单调性的关系，最后运用导数求解函数的单调区间。通过这样的学习阶层划分，可以使教学过程更加有序和清晰，有利于学生逐步建立起知识结构，提高学习效率和成绩。

（三） 细化基本问题,挑选关键课时

在教学中，细化基本问题并挑选关键课时进行重点讲解是确保学生学习效果的关键步骤。通过深入分析教学内容，教师可以将整体知识体系细化为具体、可操作的基本问题，并在关键课时对这些问题进行重点讲解，以提高学生的学习效果[3]。

例如，教师在教学北师大版中《导数与函数的单调性》的相关课程时，需要确定教学内容中的基本问题：如何求解函数的导数？导数与函数的单调性之间的关系是什么？如何利用导数确定函数的单调区间？在这个过程中，教师可以结合实例进行讲解，以增强学生的理解和记忆。教师可以通过讲解导数的定义和几何意义，例如导数表示函数在某一点处的变化率，来帮助学生理解导数的概念。同时，通过实例分析，例如通过绘制函数图像和计算导数，让学生感受导数与函数变化的关系。教师也可以通过讲解导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减的规律，结合实例进行说明。通过绘制导数曲线和函数图像的对应关系，让学生直观地理解导数与函数单调性的联系。在第三课时，教师可以通过解决实际问题或高考真题来引导学生运用导数求解函数的单调区间。通过解决物理问题中的速度、加速度等变化率问题，或者通过求解高考真题中的函数单调性问题，让学生掌握如何应用导数求解函数的单调区间。

结语：

通过讨论可以看出，导数与函数的单调性之间存在着密切的关系。在教学观察中，教师需要通过科学合理的教学设计和观察设计，帮助学生逐步掌握这一关系，提高他们的数学素养和解题能力。在教学设计中，教师需要形成基本思路，设置持续评估。通过定期的测试和作业，可以及时发现学生的问题，有针对性地进行教学调整，提高教学效果。

参考文献：

[1]周丽萍.新高考背景下高中数学分层走班教学的实践与思考——以"函数的单调性与导数"教学为例[J].广西教育,2023(17):4-7,13.

[2]朱贤良,唐录义.“误中悟”教育理念下的“导数与函数单调性”教学设计[J].中小学数学,2023(12):46-50.

[3]赵灵燕.“与导数有关的函数零点问题”的解题思路分析[J].中学生数理化（高中版）,2023(27):37-38.