单自由度一般粘弹性阻尼减振系统解法与随机响应

单自由度一般粘弹性阻尼减振系统解法与随机响应

崔岩岩 于沛峻 杨冰冰

中车青岛四方机车车辆股份有限公司  山东省青岛市266109

摘要：该文对任意含Maxwell模型的单自由度黏弹性阻尼减振的随机响应进行了系统研究，给出了三种解析方法，分别为谐波平衡法、解耦法以及微积分法。首先根据模型建立系统的一般运动方程，通过三种方法分别进行求解，然后采用龙格库达法做出系统的幅频响应曲线、时间历程图以及相图作为基准。针对三种解法分别在它的难易程度以及精确度上进行对比分析得知综合性能方面谐波平衡法最为精确，微积分法可以得到减振系统的一阶等效阻尼和频率的近似解析解，其解法最为简单，而解耦法得出的结果在时间历程图上反映出不稳定，具有缓冲性。最后将Maxwell模型应用于抗蛇行减振器中，对抗蛇行减振器的简化模型进行了简单介绍。本文对实际工程应用的研究具有很好的借鉴作用。

关键词：Maxwell模型；谐波平衡法；解耦法；微积分法；时间历程图；抗蛇行减振器

中图分类号：U260.11文献标志码：A

Solution and random response of a single degree of freedom viscoelastic damping system

CUI Yan-yan,DING Wang-cai,LI Guo-fang

（School of mechanical and electrical engineering，Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,china）

Abstract: The random response of a single degree of freedom viscoelastic damping system with Maxwell model is systematically studied, and three analytical methods are given, namely harmonic balance method, decoupling method and calculus method in this paper . According to the general equation of motion model is established and the solution respectively by three methods, and then the method of Runge-Kutta make the amplitude frequency response curves, time history diagram and phase diagram as a reference. For the three kinds of solution are in its ease and accuracy were analyzed that the harmonic balance method is the most accurate and approximate analytic soluation of calculus can get the damping system of first-order equivalent damping and frequency, the method is simple, and the decoupling of results derived in the time history chart reflects instability with a buffer. Finally, the application of Maxwell model in the yaw damper, simplified model against hunting damper are introduced. This paper has  good reference for the research of practical engineering application.

Keywords:Maxwell model;Harmonic balance method;decoupling method;calculus method;Time history diagram;yaw damper

0 引言

Kelvin在1865年做扭摆实验时发现粘弹性材料并不能完全满足Hooke定律，材料的内耗情况必须要考虑粘性介质，后来就建立了弹簧-阻尼并联模型，并以他的名字命名。两年后，Maxwell在此基础上提出了弹簧-阻尼串联模型，与广义开尔文模型一样，属于线性粘弹性体的一般模型。

阻尼器以及粘弹性材料已经在现实生活中被广泛应用

[1-3]。支浩迪[4]针对基底摇摆隔震情况，将Kelvin模型和Maxwell模型进行比较，发现大阻尼情况下Kelvin模型的隔震效果较好。王孝然[5]研究了单自由度系统的强迫振动，把Kelvin模型和Maxwell模型进行比较，发现偏心质量支撑运动引起的强迫振动在小阻尼的时候Maxwell模型的振动控制效果远优于Kelvin模型。E.J.Vernon-Carter[6]将Kelvin模型与一个甚至多个Maxwell模型进行结合，发现两种模型结合后的频带比单一的Kelvin模型的频带要宽并且获得稳定的状态和复杂的粘度之间的关系。周长城等[7]在研究抗蛇行减振器的过程中发现了最优阻尼系数的解析计算方法。针对Maxwell阻尼器减震系统，李创第等人[8]重构了系统的分析方程，采用多尺度法将系统计算误差控制在3%以内。李创第等人[9-10]针对含有支撑部件的Maxwell阻尼器减震系统采用传递函数法对微分积分混合动力方程进行求解，分别获得了阻尼器时域瞬态响应以及位移和速度的解析表达式。并且针对多自由度含有支撑部件[11]的粘滞阻尼器减震结构进行了系统分析，得出了等效阻尼比和随机响应的解析分析方法。谢贤宗,沈荣瀛[12]根据粘弹性阻尼的不同处理方法将粘弹性阻尼分为自由阻尼层结构和约束阻尼层结构并进行了系统分析。刘建新，王开云[13]基于机车车辆轨道耦合动力学理论研究了抗蛇行减振器对机车运行平稳性的影响，发现了影响机车运行平稳性的因素，既机车运行平稳性与抗蛇行减振器的结构阻尼的大小成正比。马强[14]等人提出了能较精确模拟单自由度系统传递函数的时域分析方法。

根据含有Maxwell模型的阻尼器得出的结构方程一般较简单，Maxwell模型对于粘性流体阻尼器的要求并不高。但是此种模型的研究较少，为了更好的解决生活及工程实践中所遇到的振动问题，如抗蛇行减振器等，我们有必要对含Maxwell模型系统的求解方法、振幅响应情况以及更深层次的非线性理论进行深入研究。本文通过对含Maxwell模型系统的分析，给出了三种求解方法，并且对比了三种求解的结果，通过时间历程图进行了对比。

1 运动方程

图1 计算简图

对于图1所示的是单自由度含Maxwell模型的减振系统，质量块在外激励作用下左右运动，与右侧碰撞面发生单面碰撞，其运动方程为：

式中：、、分别为结构的质量、阻尼和刚度；为质量块的位移，为弹簧和阻尼连接处既节点处的位移；为外激励系数；为外激励频率。

将方程（1）和方程（2）进行无量纲化处理可得：

式中，；；

；      （5）                  

2 谐波平衡法

谐波平衡法[15]，或称描述函数法在解决非线性问题的过程中具有非常重要的作用。它可以用来根据近似方程的周期解情况来推断原方程的周期。谐波平衡法的基本原理是用傅里叶级数来表示动态方程中的状态变量，以满足其周期性的要求。然后，采用用算法优化，将傅里叶级数的系数进行优化，使得系统方程的误差变的最小。简单点说谐波平衡法的原理就是在求解方程的时候，对应系数项相等。

方程（3）和方程（4）采用谐波平衡法进行求解，设 ， 

其中,分别为结构位移，的系数。将，带入方程（3）和方程（4）求解可得，，其中：

若外激励为0，则设

代入求解并给定初始条件，，可得：

其中，

（12）

（13）

（14）

所以该模型的通解为（15）

3 微积分法

    微积分（Calculus）是高等数学中的一门基础学科，主要研究函数的积分(Integration)、微分（Differentiation）以及有关概念和应用。内容主要包括积分学、极限、微分学及其应用。微分学主要用来求解方程的导数，针对函数、速度、加速度以及曲线的斜率等问题均可用一套通用的符号进行描述。积分学为求解面积、体积等方面提供了一套通用的方法。

根据方程（4）可得：

（16）

由理论可知，所以

       （17）

其中为常数项。将公式（17）代入方程（3）可得非齐次方程：

         （18）

同理当外激励为0，既的时候可得齐次方程：

                （19）

分段求解并代入初始条件，可得：   （20）

其中

         （21）

I.当时，

  （22）

II.当时，

  （23）

4 解耦法

    首先要明确“耦合”这个物理概念，耦合是指两个或者两个以上的体系或两种运动形式间通过相互作用而彼此影响以至于联合起来的现象。解耦就是利用数学的方法将两种运动分开来处理问题，常用的解耦方法就是忽略或简化对所研究问题造成微小扰动的因素，只研究主要运动。

方程（3）和方程（4）变为雅克比矩阵形式：

（24）

其中，，

   ，

所以

    ,

求特征值及特征向量，则有

，

再根据公式，，可以求出系统的阻尼比以及有阻尼的固有频率。将以上各值代入可得以下方程（25）得出系统的非齐次特解，再令外激励

，方法与以上相同，代入即可求得齐次通解，最终通解为，其中，皆为常数，代入初始条件，可以得出，的值。

，，

，，

，

（25）                                                             

5 系统的随机响应分析

根据以上三种计算方法的简单介绍可以分别得出系统的响应情况，本文只研究一级位移大小，对于二级位移暂时不做研究。

I.谐波平衡法

（26）

II.微积分法

当的时候，

（27）

当的时候，

         （28）

III.解耦法

（29）

系统的幅频响应曲线如图（2）所示，横坐标W表示频率，R表示振幅大小，从图中可以看出，系统的振幅在0，其中为碰撞后的速度，是碰撞前的速度，为恢复系数。

（2）幅频响应曲线          图（3）相图

图（4）时间历程图

图（5）时间历程图       图（6）时间历程图

   图（7）时间历程图        图（8）时间历程图

图（4）是采用龙格库达法所做的时间历程曲线，图（5）-图（8）分别是采用三种算法得出的时间历程图，对比以上结果可以发现，系统都是在位移为1的时候与碰撞面发生碰撞，谐波平衡法做出的时间历程图与龙格库达法得出的结果最为接近，既该种算法最为精确，也最为稳定。对于微积分法，当的时候既图（6）可以看出，质量块从碰撞面开始出发，随着外激励的作用左右振动，之后碰撞越来越不明显，甚至系统的位移要经过几个波峰或波谷之后才会与碰撞面发生轻微碰撞，当的时候既图（7）可以看出，此时的质量块在平衡位置左侧，随着外激励的作用开始运动，起初运动不稳定，之后逐渐趋于稳定，但始终未与碰撞面发生碰撞，属于线性系统。图（8）是采用解耦法得出的时间历程图，从图中可以看出该种方法虽然满足碰撞以及间隙的要求，但系统运行不太稳定，到达下次碰撞的时候，中间有缓冲的过程。

6 Maxwell模型的应用

为抑制车辆的蛇行运动，高速车辆在车体与构架之间通常设置有抗蛇行减振器，图（9）为抗蛇行减振器的三维模型图，图（10）为等效简化后的理想实物图，图（11）为轴向振动图以及图（12）为改进后的轴向振动图，图（11）中,,分别为两端部，,,,为四个节点，,表示端部位移，,,,表示节点处位移。

轴向振动图的简化原理是减振器内流体的粘着阻力和节流孔阻力具有耗散冲击能量的作用，其阻尼系数为；减振器的两端和橡胶结构销接或铰接，从而使其接头具有一定的刚度和；流体中含有的少量空气在储油缸中形成一定压强的空气囊，使得减振器在轴向相对运动时也会产生一定的弹性力，其刚度系数为，此外减振器接头处还出现微小间隙、,它由减振器自身结构的安装间隙和长期服役后其接头弹性元件磨损和老化所积累的间隙组成。

由分析可以知道图（11）中的和是同时工作的，为简化模型以及更直观，所以改进为图（12）的轴向振动图，,分别为两端点接头，,分别为两端运动位移，为节点处的位移，因为图（11）中的和在同一条直线上，根据等效原理既爱因斯坦相对性原理可以简化为图（12）中的。

图（9）抗蛇行减振器        图（10）

图（11）               图（12）

7结论

根据以上三种计算方法的简单介绍可以看出微积分法在计算程度上最为简单,但是在刚开始运动的时候可能具有不稳定性；另外两种解法相对复杂，其中谐波平衡法得出的结果较为精确，运行过程也最平稳；解耦法的运动过程最不稳定，运行过程中会发生颤振，但是在振幅区间方面与龙格库达法所得出的结果最为接近。

在幅频响应方面，系统具有两个共振区，当幅频响应曲线中出现波谷现象的时候，既W=0.235的时候会发生谐共振，当幅频响应曲线中出现波峰，既W=1.5的时候会发生共振。

Maxwell模型在很大程度上能够简化模型的结构，缩短计算时间，更加适应于高速列车的仿真计算。所以研究含有Maxwell模型的系统对研究高速列车的仿真计算以及分析列车的运行平稳性具有重要的意义。

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