简介:求二次曲线以已知点为中点的弦的方程和弦的中点轨迹问题,已有不少文章论及,提出了许多不同的解法。本文从直线与二次曲线族的位置关系出发,也对这类问题进行一些探讨。一、二次曲线以已知点为中点的弦的方程我们知道,若直线l与圆心为O,半径为r的圆相切于P点,则任一以O为圆心,半径大于r的圆截l所得的弦都以P为中点。故给出点P(x0,y0)(异于原点)和圆x2+y2=R2,当R2>x02+y02时,要求以P为中点的弦所在直线的方程,只须在以原点为圆心的圆族x2+y2=r2内,求出圆x2+y2=x02+y02在P点的切线方程即可,其方程为x0x+y0y=x02+y02,即
简介:求动弦的中点轨迹,历来都是高考的重点、难点,也是热点.本文介绍三种解法、思路新颖、清晰、解法简捷、达到化繁为简,化难为易目的.1用中心对称求二次曲线弦的中点轨迹我们知道,圆锥曲线1C:F(x,y)=0,关于点00M(x,y)中心对称的曲线2C的方程是:00F(2x?x,2y?y)=0.若曲线1C和2C相交于A、B两点,则方程00F(x,y)?F(2x?x,2y?y)=0是二元一次方程,且通过点A、B,因而它表示以对称中心00M(x,y)为中点的弦AB所在的直线方程,再根据动弦必须满足的几何条件,可求中点轨迹方程.例1过点A(2,1)的直线与双曲线2x?212y=交于两点1P,2P,求线段1P2P的中点轨迹方程.(1981年全国高考题).解如图,设线段1P2P的中点为M(a,b),则双曲线关于点M对称的曲线方程为222(2a?x)?(2b?y)=2,(1)又222x?y=2,(2)(2)-(1)得1P2P所在直线方程为:222ax?by?2a+b=0.(3)由点A在直线(3)上,将A点坐标代入得222a?b?4a+b=0,即所求中点轨迹方程为:222x?y?4x+y=0.例2如图,P是抛物线2C:y=x/2上一...