一元二次方程根与系数关系的应用

一元二次方程根与系数关系的应用

刘满林

湖北省咸宁市咸安区何功伟中学437024

一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。

一、定理的内容

设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：

x1+x2=-，x1x2=。

这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。

二、韦达定理几种常见变形

1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。

2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。

3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。

4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。

5.＋=。

6.＋＝=－2。

三、运用韦达定理构建一元二次方程

若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。

下面谈谈定理的应用：

1.关于两根的对称式求值。

关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。

例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：

①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。

例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。

2.关于两根的非对称式的求值。

对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。

（1）运用根的定义降次，化为对称式。

例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。

解：∵x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，

∴x12=x1+2013，x1+x2=1，

∴x13+2014x2-2013

=x1（x1+2013）+2014x2-2013

=x12+2013x1+2014x2-2013

=x1+2013+2013x1+2014x2-2013

=2014（x1+x2）

=2014。

（2）运用韦达定理构造对称式。

例3、（华师大网招）已知α、β是方程x2-3x-5=0的两根，则++β2的值为（）。

解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两根；∴α+β=3，αβ=-5且β2=3β+5。

∵（2α-1）（2β-1）=4αβ-2（α+β）+1=4×(-5)-2×3+1=-25；

(α+2β)(2α+β)=2α2+2β2+5αβ=2(α2+β2)+5αβ=2（α+β）2+αβ=2×32-5=13；

∴++β2=(1-2β)+(2α+β)+(3β+5)=2(α+β)+6=12。

本例中试题的形式不对称，似乎无从下手，但是当我们根据韦达定理，构造其对称式之积，问题便迎刃而解了。正是：山穷水复疑无路，柳暗花明又一村！

3.构造一元二次方程。

当条件符合方程根的定义，或满足根与系数关系时，构造一元二次方程，再运用根与系数关系或根的判别式求解。

（1）巧用根的定义构造一元二次方程。

例4.（1）已知a、b满足a2-6a+4=0、b2-6b+4=0，且a≠b，则+的值是（）。

（2）（2012.随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则（）2=（）。

（3）若实数x、y满足+=1、+=1，则x+y=（）。

解：（1）由题意a2-6a+4=0、b2-6b+4=0且a≠b知：a、b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个不相等的实数根，∴a+b=6，ab=4；

∴+＝==＝7。

解：（2）由a2+2a-1=0知a≠0，方程两边同时除以a2得1+-=0，整理得--1=0；又b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，

∴b2、是关于x的一元二次方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根；

∴b2+=2，=-1；

∴（）2=（b2+-3+）2=（2-1-3）2=4。

解：（3）由题意知：33、53是关于t的方程＋=1的两个实数根，整理方程得t2+(43+63-x-y)t+(43x63-63x-43y)=0，

∴33+53=-（43+63-x-y），

∴x+y=33+43+53+63=432。

此例中的三个问题都是应用根的定义构造一元二次方程，再利用根与系数的关系求解的问题。（1）中两个条件式结构对称，形式相似，过程清晰，求解容易；（2）中两个式子结构不对称，通过变形将其中一个条件式转化为与另一个式子结构对称、形式相似的式子，再仿（1）式求解，难度增加了；问题（3）要根据试题的结构特点，联想构造关于t的一元二次方程，再利用根与系数的关系求解，因而难度更大，灵活性更强。这三个问题由浅入深，由简单到复杂，循序渐进，呈梯度上升，能有效地训练学生的创新思维、猜想意识和解决问题的能力。

（2）逆用根与系数关系构造一元二次方程。

例5.已知实数a、b、c满足a+b+c=0、abc=16，求正数c的最小值。

解：由题意知a+b=-c，ab=。

∴实数a、b是关于x的一元二次方程x2+cx+＝0的两个实数根；

∴△=c2-4×≥0；∴c3≥64，c≥4。

故正数C的最小值为4。

本例将条件式转化为两个数的和与积，再逆用根与系数关系构造一元二次方程，然后根据根的判别式求解。这种化归思想，也是许多代数竞赛证明题的一般解答思路，常常会收到意想不到的效果。

以上是韦达定理在解决相关问题中的几点应用，从中我们了解了这类问题的一般解答思路和方法，体会了数学建模思想、化归思想和创新应用意识、开放意识，让我们方法更巧妙、思路更广！