非欧几何的哲学思考

非欧几何的哲学思考

饶冬飞

饶冬飞(付和顺南昌师范高等专科学校莲塘校区330200)

［摘要］本文扼要阐述了非欧几何的产生，并从中梳理出三方面的哲学上的思考，希望抒发心中的感想，与同行共同勉励。

［关键词］数学几何教学

1非欧几何产生过程简介

公元前三世纪，希腊数学家欧几里得（Euclid）收集当时所能知道的一切几何事实，确定一些被认为是不证自明的事实，从此出发，通过演绎推理，建立了第一个几何学公理体系——欧氏几何学，著书《几何原本》，他自己也因此成了当时的几何集大成者。关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。目前，属于中学课程里初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了，因此，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。

德国数学王子高斯（C.F.Gauss）是真正预见到非欧几何的第一人，不幸的是，毕其一生，从没有关于此命题公开发表过任何文章，只在一些私人信件中有所谈起。匈牙利数学家波耳约(JohannBolyai)在1823年写了一篇26页的论文《绝对空间的几何》，阐述了新的平行线理论的结果。

俄国数学家罗巴切夫斯基（N.I.Lobatchevsky）是发表此课题的有系统的著作的第一人。罗巴切夫斯基否定第五公设的等价命题“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”，得到其否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和欧氏的其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，得到了一系列的没有任何逻辑矛盾却古怪的命题。比如：不存在相似三角形；三角形的内角和小于180°。罗巴切夫斯基以深刻的洞察力，果断放弃欧氏几何唯一性的传统观念，大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统构成一种新的几何。由于新几何的理论与直观表象不相符合，不能马上得到它的现实意义，罗巴切夫斯基谨慎地称为“虚几何”。后人把这种仅仅改变了平行公理的几何称为非欧几何。1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学公开宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》，这一天被公认为非欧几何的诞生日。然而，真正伟大的思想往往不能马上被人接受。罗巴切夫斯基开创的数学新领域，生前始终没能遇到公开支持者，就连德高望重的高斯由于害怕影响他的尊严和荣誉，也内心矛盾地不肯公开评论罗巴切夫斯基的这一工作。

当然，广义的非欧几何还包括从“过平面上直线外一点，不能引直线与已知直线不相交”公设所引导出来的黎曼（B.Riemann）几何。

2非欧几何的哲学思考

2．1关于相对真理与绝对真理。欧氏几何作为绝对真理，统治几何学界约两千年。到了罗巴切夫斯基理论，甚至直到贝尔特拉米、克莱因等的各式各样的模型(伪球面、绝对圆)，这些工作不但证明了平行公理的独立性（亦即不能由其它公理导出），也证明了各种非欧几何的一致性，使得这些几何的地位和欧氏几何一样，正式成为数学的分支。从而，宣告各种几何各自的相对性（相对真理）。老掉牙的话，这一漫漫征程是“绝对是相对的、相对才是绝对的”的生动例子。继续深入下去，既然考虑各种公理系统不但可以整理数学知识，而且可以发展许多数学分支，故数学公理化的方法与精神逐渐渗透到数学的各个角落里，而成为19世纪末到贯穿二十世纪数学的一个特色，包括希尔伯特的《几何基础》、皮亚诺的《数学论集》、科尔莫戈罗夫的《概率论基础》、还有些基本概念。这种勃勃生机的场面部分解决了数学此前的矛盾和困惑，从而为应用数学开辟了广阔灿烂的前景。这种企图一劳永逸的做法，需要大智慧，但，其只不过是开放的、可选择的求真之路的新起点。这种可选择性并不否认真理的唯一性，更不能否认检验真理标准的唯一性。混沌、模糊、有机、整体、不还原、复杂、概率、目的性、变异性充斥现在科学与生活，这些都要求真理是相对的，持久的、无止境的全人类的学习和探索才是必然通往自由的必经之路。

2．2关于理论与实践。上文中我们提到高斯。其实，15岁的高斯在罗巴切夫斯基诞生的那一年（1792）就有非欧几何的思想萌芽，到1817年已达到成熟程度，据载，他本人还考虑这一几何的现实性，作了一次实际测量。但是，高斯害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世。说到这里，我内心很难平静。人类社会发展到今天，理论到应用这条道路被拉扯得很长很大，这包含道路上的时间，也包含道路上的空间，道路上诸要素普遍联系与相互影响，繁繁密密又蒙蒙胧胧。高斯的表现说明非欧几何在那一时代距它的解释和实现还太遥远，当时的天体物理与原子物理学说还不够发达到有这种呼唤。今天，我们去阅读当代一些数学家对几何的基础进行解读后的文章，比较容易理解：日常生活的空间中，欧氏几何是实用的；在天体物理和原子物理中，罗氏几何是实用的；在航海和近地航空的实际问题中，黎曼几何是实用的。道路这么长，就容易出问题，各个环节相互不关心致不保持正常效率造成损失，又或太过于强调权威进行催生造成损失。高斯看到罗巴切夫斯基的著作，竟下决心学习俄语以便直接阅读罗氏的文章，而罗巴切夫斯基也用法文和德文发表自己的著作。这里存在诸多矛盾及和谐，值得学习和深思。我们坚持实践是检验理论的标准，但当它们距离很遥远时，要有些许的宽容并把握尺度。作为研究者本人，倒是要提倡个性，因为你的坚信可能会是科学的一个进步。

2．3关于“不证自明”。欧几里得几何和非欧几何这两种几何系统在逻辑上是相容的，而且都是真实地描述客观世界，但它们在直观上却是互相矛盾的。这一事实说明了感性直观的局限性，它使人们认识到自明性并不是数学真理性的标准。物理世界到底符合数学中的哪种几何并不能先验，必须要由物理条件来决定。当代数学专业大学生学习高等几何含一章“几何基础”，我想正是因为非欧几何能促使学生改变对数学本质的理解，能教会学生如何进行抽象的数学推理，发扬理性主义的探索精神，从而激发学生对理想和美的追求。因为在历史上非欧几何就是这样启迪数学家和哲学家的。

最后，还有一点饶有兴趣，居然会是因为第五公设的冗长引起了数学家们的兴趣，当然，也有人认为第五公设的冗长是欧几里得为了使其更加自明。

【参考文献】

［1］朱德祥.高等几何.北京:高等教育出版社,1994.

［3］黄秦安.论数学真理观的后现代转向.南京大学学报（哲学人文社科版），2003（5）.