转化与化归思想在高中数学教学中的应用

转化与化归思想在高中数学教学中的应用

张玉静

张玉静

摘要：转化与化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能、化归的实质、化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，着重归纳了用化归思想方法、原则及解题的技巧，力求比较全面地体现化归思想在中学数学解题中的作用和地位。

关键词：转化与化归；思想；原则；途径；方法

在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

转化与化归思想是高中数学的重要思想，通过转化，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中的问题，以有利于解决的一种数学思想。

化归思想常常以变换题目的结构形式、变更问题、从反面探究结论等方式出现，转化与化归应遵循以下基本原则：熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题目的；和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反机去探求，使问题获解。

常用的化归思想如：数与形相互转化思想、函数与方程思想、正难则反思想、一般与特殊的转化、等与不等的转化等。下面，笔者就以上转化与化归思想加以举例说明：

一、数与形相互转化思想

数与形相互转化思想，也称数形结合思想，是利用几何中的有关性质来解决代数有关问题，也可以借数量关系来研究几何性质。如题：

二、函数与方程思想

函数与方程思想，函数是方程与不等式的中介，它们既有区别又有联系，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程式、不等式的问题需要函数的帮助，解答此类问题有时需要构造函数，通过探究函数的单调性和最值来解决问题。如题：

三、正与反的想互转化

正与反的想互转化，既正难则反思想，当问题在正面入手难度较大时，不妨考虑它的反面，然后通过求补集的方法解决原问题。这种“正难则反”的思想是一种重要的解题策略，灵活运用该思想，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解，例如：

以平行六面体ABCD-ABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为？

解析：这里顶点B是椭圆上的动点，所以sinA,sinB,sinC不易确定，但根据“一般成立特殊一定成立”，可将这个一般性的问题转化化归为B点在特殊位置(椭圆短轴端点)来处理较易。当然，注意到A、C是两焦点，利用正弦定理，进形数形转化也能取得很好的效果。

五、等与不等的转化

综合上述，从数学例子的分析点评中，我们可总结归纳巧妙运用转化与化归思想的方法策略所具备的要求与能力：(1)有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型，(2)有较强的化归能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了。

与此同时，我们通过以上例子的分析，可以总结得到巧妙运用转化与化归思想的以下几个途径：(1)掌握转化和化归的思想方法，在运用时应注意用“变换”的方法解决数学问题，依据问题本身提供的信息，去寻求有利于解决问题的变换途径和方法，进行合理的选择。(2)转化时要注意转化的方向性，使转化的目的明确，以致解题思路自然流畅，此外还要注意转化前后的等价性。(3)在训练中应重视数学化归思想，强化在解决数学问题中的应变能力，提高解决数学问题的思维能力和技能。

另外，在中学数学中，运用化归思想方法解题应注意以下几点：

其一，注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性。

化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题(通常称为规范性问题)为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题(即问题的规范化)。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

其二，注意转化的等价性，保证逻辑上的正确

化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

其三，注意转化的多样性，设计合理的转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。

以上的例题和说明，体现化归思想方法在中学数学解题中的重要地位。利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”，这就要求我们在学习数学的过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础。

最后，还必须说明，转化与化归思想是中学数学解题的重要思想方法，但并不是万能的方法，不是所有的问题都可以通过转化和化归而得到解决的。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的。因此，我们不能只停留在转化与化归的分析上，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论。

（作者单位：内蒙古包头市一机一中014000）