浅议初中数学中因式分解中的思想方法

浅议初中数学中因式分解中的思想方法

解永林

解永林

摘要：世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识．正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生──未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识(即是指一般性的思想方法或思维模式)。”这也就是说，数学学习必须重视数学思想方法。

关键词：观察；试验的思想方法；变量思维；整体思想

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等。自从把数学思想方法纳入基础知识范畴以后，如何在学习中贯彻数学的思想方法，这已成为人们普遍关注的问题。

一、观察、试验的思想方法

在数学中，观察、试验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路．用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察、试验才能解决。

例如，无论是简单的二次三项式a2-7a-18的因式分解，还是复杂的二元二次多项式3x2+5xy-2y2+x+9y-4的分解因式，都需要进行细心的观察、多次的试验，将二次项系数(或二次项)与常数项各自分解为二数(或两个多项式)的合理乘积，使得交叉相乘后相加的和必须是一次项系数(或一次项)，来达到分解因式的目的。因此，要把观察、试验的思想方法贯穿于整块内容教学的全过程，经过反复运用观察、试验的方法，从感性认识上升到理性认识。

二、变量思维

变量与常量既是对立的，又是统一的．辩证地看待字母──它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便．对简的二次三项式用十字相乘法进行分解因式后，将这些等式里的字母看作变量，进行变量代换，能为解一些复杂的因式分解问题提示一种可行的思路。例如，用十字相乘法对二次三项式a2-7a-18分解因式后，引导学生将等式a2-7a-18=(a-9)(a+2)中的字母a进行变量变换，即将a变为x2，得x4-7x2-18=(x2-9)(x2+2)；将a变为x2-3x，得(x2-3x)2-7(x2-3x)-18=(x2-3x-9)(x2-3x+2)

通过变元，把字母变成多项式，反过来，如果将某些多项式看作一个字母，利用换元法进行因式分解，那么学生的思维就自然而流畅了。

三、整体思想

有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简、化难为易．

整体思想的教学可按以下两步进行：

1.通过换元明确整体思想

例1.分解因式：(x2+x)2-14(x2+x)+24

在变量思想的指导下，我们很快地想到用换元法对例1进行分解因式，即设x2+x=u，则原式=u2-14u+24=(u-2)(u-12)=(x2+x-2)(x2+x-12)=(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)。在此基础上，抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体，明确整体思想。

2.通过解题发展整体思想

例2.分解因式：(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72

在整体思想的指导下，我们也很容易地得到以下的几种解题方案：

方案1：将x2-3x看作一个整体，则原式=(x2-3x)2-2(x2-3x)-80=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)．

方案2：将x2-3x+2看作一个整体，则原式=(x2-3x+2)2-6(x2-3x+2)-72=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)．

方案3：将x2-3x-4看作一个整体，则原式=(x2-3x-4+6)(x2-3x-4)-72=(x2-3x-4)2+6(x2-3x-4)-72=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)．

以上两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到和谐的统一。

初中数学内容蕴含着丰富的数学思想方法，在教材中，有些数学思想方法比较明显，便于我们在教学和学习中渗透与提高，有些则隐藏于知识背后，需要我们在学习中进行挖掘、提炼。结合不同阶段知识学习，有意识地反复孕育数学思想方法，潜移默化地掌握数学思想方法，这是我们数学学习中的重要任务。久而久之，定能培养出高素质的、创造型的、21世纪的有用之材。

作者单位：贵州省遵义县三合镇新站中学

邮政编码：563103