数学解题中的化归法

数学解题中的化归法

姚翔

关键词：化归法；转化；变形；联想

在解决问题过程中，往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所要解决的问题，经过某种化归，使之得到解决，这就叫做化归法。

化归法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换等，或平移、旋转、伸缩等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解答。如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现。其他如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了。所以，掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要意义。

一、化归法的基本原则

化归的核心是转化。化归法有三个要素，即化归的对象：即问题中需要改变的成份，是改变整个题目还是只改变它的条件或问题；化归的目标：即化难为易、化繁为简，还是将陌生问题转化为熟悉问题；化归的方法：即转化途径，这是化归法的关键。

若要实施好某种化归，且使这种化归行之有效，就必须遵循相应的原则，而不是盲目进行。一般说来，化归应遵循以下原则：即熟悉化原则，就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验用于解决新问题；简单化原则，就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决；和谐化原则，就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统一的特点，这样做有利于揭示问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系；直观化原则，就是将一些含糊的、抽象的、深奥的问题化归为比较具体的、直观的、浅显的问题来解决。

二、化归法的应用

在明确了化归的对象和化归的目标后，如何进行化归途径就是最重要的。实现化归的常用措施有：分割法、典型化法、数形结合法、映射法、逼近法、消元法、降次法、换元法、数学模型法等。实施化归的方法虽然很多，但是都具有一个共同特点：我们不应以静止的观点来看待问题，而应以可变化的观点去看待问题，即善于将待解的问题进行变形，通过适当的变形使之更加容易解决，这才是化归的核心思想。

三、总结

在解题过程中，必须紧紧盯着目标，即应考虑这样的问题：怎样才能达到解决原问题的目的，在这个大前提下，实施化归才是有成效的，盲目地选择化归方向与方法必将走入死胡同，我们应保持一定的灵活性。正如波利亚所指出：如果有几条可能的途径，而其中没有一个是十分有把握的，那么在沿着某条路走得太远以前，最好对每条路都稍加探索，不要过早地把自己局限于某一途径，这也是化归的策略之一。在解题中必须考虑以下问题：怎样才能更快、更有效地解决问题，即应注意在几种可能的途径中进行选择，这就是择优原则。这几种择优原则也是我们运用化归的依据和出发点，而化归法并非万能，即并不是所有问题都可以通过化归而得到解决的。它的成功运用是以“数学发现”为前提。因此，我们不能停留于化归法的分析，而必须从事新的研究，在研究中获得新方法和新理论。

参考文献：

[1]罗增儒.数学竞赛导论[M].西安：陕西师范大学出版社，2000.

[2]殷堰工.数学解题策略精编[M].上海：上海科技教育出版社，1994.

[3]朱成杰.数学思想方法学[M].上海：文汇出版社，1998.

[4]张奠宙等.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，1996.

[5]李文斌等.运用化归与转化的若干原则[J].中学数学研究，2004(12).

作者单位：江苏省宝应中学

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