精心设计，优化整合

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林建华

——《等边三角形中的动点问题》专题复习教学案例

林建华浙江省瑞安市滨江中学325200

【案例背景】

温州市中考复习会议在我校举行，学校要求上一节复习课。在学生的数学学习活动中，教师作为学生数学学习活动的组织者，选择怎样的教学内容和采用怎样的方式呈现给学生，来引导学生主动地进行思考，这是考验我们是否具备优良“教学品质”的“首要问题”。基于学生对静止状态下的图形有关性质掌握比较好，图形一旦运动起来，学生感觉无从下手，所以教学中选择动态型几何问题进行专题复习。背景图形选取学生最熟悉的三角形来研究。而且动态几何问题也是近几年中考的一个热点问题。这类题型虽说对大部分学生有一定的难度，但并不是无规律可寻，只要把握变量与不变量的关系，沿着以“动”思“静”，以“静”探“动”的主线进行探析，并不断加强练习，功到自然成。

【案例描述】

一、开门见山，紧扣课题

我们已复习了全等三角形、特殊三角形的性质与判定，同学们对静止状态下的三角形中的边、角、面积等掌握较好，一旦图中出现的动点问题，感觉有困难。针对这种情况，这节课我们一起来探讨《等边三角形中的动点问题》。

几何画板：出现等边三角形。

师：1.看到等边三角形，联想它有什么性质？（边、角）

2.取BC的中点P，连结AP，则AP与BC有什么位置关系？

3.已知AB=2，你能求出哪些量？

设计意图：设计一个静止状态下的等边三角形，回顾它的性质，中点联想三线合一，得到一系列的边、角、面积的有关计算，为后面学习做好铺垫，而且入口比较浅，激发大部分学生学习数学的兴趣。第3题问题设计开放，不同的学生得到不同的感悟。

二、探索新知，提炼方法

1.现在点P在线段BC上运动，许多量在变化？

师：哪些量变？哪些量不变？

生：学生观察图形，探索图形中变化的量与不变量，学生阐述自己的想法与结论。

数学实验：利用几何画板把点P动起来，显示动态图形，使问题更直观、形象。同时让学生验证自己的结论正确与否。

（展示题目）

例1．如图，在等边△ABC中，AB=2，点P在线段BC上运动，（P不与B、C重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连结DC，设BP的长为X。

师：（1）请你找出一对全等三角形，并说明理由。

马上有学生举手，越来越多的人举手，看来大多数学生都能找到这对全等三角形。并争着说明理由。

师：（2）随着点P的运动，我们关注△ACD形状的变化？它会形成一个特殊三角形吗？你猜它会形成什么特殊三角形？

数学实验：利用几何画板把点P动起来，此时△ACD随着一起运动，让学生观察△ACD的变化，形成直观感觉。

生：我猜想△ACD是直角三角形。

师：当X为何值时，△ACD是直角三角形？

学生阐述自己的观点，并由其他学生补充说明。

设计意图：让学生经历观察、猜想、探索，动手试着解答这样一种研究数学的方法。同时发现动点问题中蕴藏着一些相互联系的变量与不变的量。在解决问题中，学生考虑一个三角形是直角三角形，分三种情况说明，其中也让学生感受到了分类讨论的思想。

2.继续观察：四边形APCD的形状变化？

师：（3）随着点P的运动，四边形APCD的面积会变化吗？若不变，求出它的值；若变化，说明理由。

学生思考，教师巡视学生解答情况。

有一学生抢答：不变。

师：你回答这么快，是怎么做的？

生：根据△ABP与△ACD全等，可把△ACD转化到△ABP上来，所以四边形APCD的面积就等于△ABC的面积为3。

师：这位同学力气非常大，它把△ACD搬到△ABP上来，因为他关注了△ABP与△ACD全等的“不变关系”，做得非常好，这样，就把四边形APCD的面积转化为△ABC的面积来求，非常简洁、快速。

3.现在连结PD，交AC于点E。

师：随着点P的运动，△APD的形状会变化吗？

学生回答：不变，都是等边三角形。并说明理由。

师追问：你知道∠APD的度数吗？

生：∠APD=60°。

观察边CE是否在变化？随着X的增大，CE如何变化？

数学实验：显示点P从点B向点C运动，CE在变化，学生直观感受CE的变化过程。

师：你猜它们是一种什么函数？

若设CE长为y，求y关于X的函数关系式？

当学生回答出来后，再次用几何画板演示点P，感受自己的猜想成立，验证结论。

教师指出：解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。动点运动过程中，抓住图形在变化过程中不变量与变量及不变量与变量之间的关系。在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型来求解。

三、巩固练习，拓展思维

若点P在线段BC延长线上运动，DC交AP于点E，其他条件都不变，则上述（1）、（2）、（3）（4）的结论还成立吗？自己试着探究解答。

设计意图：通过变式练习，能够及时地将刚才学会的知识加以应用，巩固，也能及时将学生的掌握情况加以反馈，进一步提高学生的应用能力，实现对知识的应用和拓展。其中第（3）小题的结论发生改变，四边形ACPD的面积在变化。学生利用各种方法求出了四边形ACPD的面积表达式。充分发挥学生的潜能，培养学生发散思维，一题多解，进一步发展了学生有条理的思考和表达能力。对这个图形，还可以把点P移到CB的延长线上，继续探究刚才的4个问题是否成立？这个问题作为回家的作业去思考。

四、归纳小结，反思提高

师：1.这节课学习了用什么知识解决动点问题？

2.解决动点问题的步骤是什么？应注意什么问题？

设计意图：让学生归纳这节课的学习内容，使学生对知识加深理解，形成体系，为今后解决动点问题打下扎实的基础；惟有总结反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高认识水平，促进数学观点的形成与发展，更好地进行知识建构。

【案例分析】

（1）设置情境，让数学问题体现循序渐进的原则。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，以等边三角形为载体，创设一个由静止的状态到按某一规律运动的动态情境，通过观察、实验、猜测、验证、交流、推理、动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形中的内在联系。随着新教材几何图形变换地位的突显，在几何直线型试题中这种动态思想渗透越来越多。在动态探究过程中，要求学生的知识面宽，分析能力强，思维多向发散，解题方法灵活，有效培养了学生的探索精神和探究知识的能力。

（2）挖掘同性，体现知识迁移。

通过例1问题的设计，复习了全等知识，特殊三角形，面积，相似等问题，把初中阶段一些重要的知识融合在一起，解决了平时常见的一些题型。为了使知识得以巩固，学过的知识能迁移运用，特意设计了巩固练习，即把点P在线段BC上运动改为点P在线段BC的延长线上运动，其他条件不变。这样的变式练习使学生对所学知识加深理解，主动思考，掌握共性与变异的规律，做到举一反三，触类旁通。为了使学生更好地掌握解题规律，加强对知识的转化能力。可把等边三角形改为等腰直角三角形，旋转角改为90度让学生回去探究，以提升学生的能力。

总之，我们应“优化整合”教学资源，充分挖掘其数学“教育价值”，让学生经历观察，猜想，探究，解答这样一种研究数学的方法。借助几何画板，从直观的感性认识中发现动点的运动规律和解决动点问题的策略，使学生成为探求知识的主体。但是由于本人水平局限，在这一节课中还存在一些不足之处，主要体现在教学环节中的学生合作学习的组织形式应该如何安排更显得合理，课堂开放的时间应该控制在多少范围之中等有待研究。