学会估算

学会估算

王红

湖北省秭归县水田坝中小学443605

例1.某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积是400000平方米。（1）公园的宽大约是多少？它有1000米吗？（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）

分析与解答：因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为400000平方米，根据长方形的面积公式我们就能找到它们之间的关系式。设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：2x2=400000，即有x2=200000。这就是说公园的宽x就是面积200000的算术平方根。

（1）因为1002=10000，10002=1000000，而200000大于10000而小于1000000，所以公园的宽只有几百米，没有1000米宽。

（2）估计并确定百位上的数字：因为4002=160000，5002=250000，所以公园的宽x应比400大比500小。即x应为400多。

继续估算，估计十位上的数字是几：因为4402=193600，4502=202500，所以x应比440大、比450小，故十位上的数为4。

因为题目要求误差小于10米，而不是精确到10米，所以我们只要估算出十位上的数就行了，即公园的宽x应为440米或450米。

（3）设圆形花圃的半径为y米，则有πy2=800，即有y2=≈255，所以y2≈255。

因为152=225，162=256，所以x应比15大，且比16小，应为15点几，而题目中要求误差小于1，所以15米和16米都满足要求，即y应为15米或16米。

以上的分析与解答过程就是估算的思想和方法，其步骤为：首先初步估计是几位数，并确定最高位上的数字（如百位）;再确定下一位上的数字（如十位）;最后再按照上面的方法依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到的某一位数为止。由此，我们就可以总结出估算的一般方法和步骤。

解决这类问题可按三步进行，先用“两边夹思想”确定其大致范围（即将其大致范围确定在某两个“整数”之间），再用“二分法思想”从这两个“整数”的中间值开始进行试算，最后用“逐步逼近思想”确定最接近的值。值得说明的是，这种方法对初学者来说也许觉得麻烦，对教师教学来说也许觉得难教，花费时间，但这种方法里面所蕴含的数学思想方法却非常有用，将会让学生终身受益。下面举例说明。

例2.已知一正方形的面积是24平方米，估算它的边长是多少米（误差小于0.1米）。

分析与解答:

第一步:用“两边夹思想”确定其边长的大致范围。

因为24介于42与52之间，所以把边长的范围确定在4与5这两个整数之间。

第二步:用“二分法”从中间值开始进行试算。

因为题中要求误差小于0.1米，即误差要求应有一位小数，所以我们必须要确定十分位上的数字，取这两个整数的中间值4.5，计算得4.52=20.25，显然，这个值与24相差较大，再取4.5与5的中间值4.8，计算得4.82=23.04，这个数与24很接近了。

第三步:用“逐步逼近思想”确定最接近的值。

再取与4.8最接近的数4.9，其平方值为4.92=24.01，所以正方形的边长就可以确定为约4.8米或4.9米。

用同样的方法我们可以解决古代许多数学家都不能解决的问题了。

例3.背景故事：传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的正方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一棱的长度都是旧祭坛棱长的2倍，但是疫病不但没停止，反而更加猖獗，人们又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：“棱长变成了2倍，体积就变成了8倍，神所要的是2倍而不是8倍。”大家都觉得这个说法很对，于是改在神殿前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是疫病仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答说：“你们所做的祭坛体积确是原来的2倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积变为2倍，而形状仍是正方体。”人们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但仍不曾得到解决，并且还让古代的许多数学家们绞尽了脑汁。

按照上面的方法我们都可以轻而易举地解决上述问题了，现在我们就将这个故事抽象成下面的数学问题来解答。

数学问题:小明有一个棱长为10cm的正方体储钱箱，现在他还想做一个容积比原正方体大一倍的同样形状的储钱箱。那么请你告诉他这个新的正方体储钱箱的棱长大约是多少？（结果保留一位小数）

分析与解答:因为原正方体的容积为103=（1000cm3），所以新正方体的容积就为2000cm3。又因为123=1728，133=2197，所以这个新的正方体的棱长介于12与13之间。取其中间值，可求得12.53=1953.125，再取其中间值12.83=2097.152，两者比较，12.5的立方值更接近，所以我们再计算12.63=2000.376。所以小明新的储钱箱的棱长应为12.6cm。我想，不论原正方体的体积是多大，按照这种方法是不难解决古人们当时无法解决的问题，这就是我们学习的最终目的：用数学思想方法，解生活实际问题。