三角中对偶式的常规解法

三角中对偶式的常规解法

张凤颖(四川省苍溪实验中学628400)

何为对偶式：在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式。这两个式子互为对偶式。在化简求值或证明一些三角问题时。如果能灵活的运用对偶的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决。

例1化简cos72°cos36°

方法一：

原式=2sin36°cos36°cos72°2sin36°=2sin72°cos72°4sin36°

=sin144°4sin36°=14

方法二：

令x=cos72°cos36°

y=sin72°cos36°xy

=sin36°cos36°sin72°cos72°

xy=14sin72°sin144°把y=sin72°sin36°

Qxsin72°sin36°=14sin72°sin144°x=14

∴cos72°cos36°=14

例2：求cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15的值。

方法一：cos5π15=cosπ3=12

cosπ15cos2π15cos4π15cos7π15

=-cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15

=-124sinπ152sinπ15cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15

=-sin16π1524sinπ15=124

cos3π15cos6π15=cosπ5cos2π5

=22sinπ5cosπ5cos2π522sinπ5=sin4π524sinπ5=122

∴原式＝124·12·122＝1128

方法二：令x=cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15

y=sinπ15sin2π15sin3π15sin4π15sin5π15sin6π15sin7π15

则

27·xy=sin2π15sin4π15sin6π15sin8π15sin10π15sin12π15sin14π15=sin2π15sin4π15sin6π15sin7π15sin5π15sin3π15sinπ15=y

即：27·xy=yQy≠0

∴x=127

即原式=127=1128

例3求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。

解：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°

N=cos10°cos30°cos50°cos70°

∴MN=124sin20°sin60°sin100°sin140°=124cos10°cos30°cos50°cos70°=116N

∵N≠0，M=116即：原式=116

例4求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值。

解：令：M=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°

N=cos220°+sin280°+3cos20°sin80°

QM+N=(sin220°+cos220°)+(cos280°+sin280°)+3(sin20°cos80°+cos20°sin80°)=2+3sin100°

M-N=(sin220°-cos220°)+(cos280°-sin280°)+3(sin20°cos80°-cos20°sin80°)=-3sin100°-32

∴上面两式相加得：2M=12∴M=14

即：sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值为14。