活用数学基础，彰显数学思想

活用数学基础，彰显数学思想

鲍玉秀

山东省淄博市周村区北郊中学255000；张刚山东省淄博市修文外国语学校255000

摘要：基础知识是进一步学习数学的基础和必要条件，是学习中一个最基本的部分，也是最重要的部分；是影响学生深入学习的主要因素，基础知识掌握的情况直接影响学生深入学习的效果的好坏。数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。在教学中，教师应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识形成、发展过程，解题思维的探索过程，以及解题方法和规律的概括过程。使学生在这些过程中，展开思维，从而发展他们的能力，使学生在学习和探索中感受和领会到了数学思想方法。

关键词：学生知识数学思想

以2016年淄博中考卷第22题为例：如右图，已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME//AD,交BA的延长线于点E，交AC于点F。

（1）求证：AE=AF。

（2）求证：BE=（AB+AC）。

特色1：重基础，突出主干知识，注重数学思想方法的考查。首先，本题以三角形为载体，立足全等与相似等主干知识，把角平分线、平行线、平行四边形、中点等知识点都融入到此题中，是一道综合性比较强的题目。其次，题目降低入口，两问，层层递进，每一问都彰显了数学思想，并让不同层次的学生都有收获。

特色2：注重通性通法，彰显思维个性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的基本理念：“经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。”在此题第（2）问中对这一理念的理解可以说是一览无余。第（2）问方法多种多样，我总结了几种思路：外延型、内截型、外延与内截结合、没有辅助线，与同行共享。

证法1：外延型(1)，如图1延长BA，在BA的延长线上截取AG=AC(做平行证线段相等或做线段相等证平行)，连接GC则∠AGC=∠ACG,可以证得∠BAD=∠AGC,AD//GC，所以EM//GC,可得BE=EG=FC，所以BE=（AB+AC）。

这种方法都做了辅助线构造倍长中线，成功实现问题转化，考查了教师在平时教学时数学模型的渗透。

证法2：内截型（1），如图2过M做MN//CF（或者去AB的中点）,△AEF∽△ENM,可以证得NE=NM,因为MN//AC,M为中点，MN=AC,BN=AB,所以BN+NE=AB+AC=BE。

此方法做的辅助线利用了平时教学中相似部分的“A”字形图形的构造，这是学习相似时最基础的知识，这值得老师们去反思，教学时我们要回归课本，关注典型例题。

证法3：内截型（2），如图3(这种方法量的关系容易迷糊)，过M做MN//AB，△AEF∽△NMF,可得FN=MN，BE=AB+AE=AB+AF=2MN+AF=MN+MN+AF=MN+AN=AB+AC。

此方法利用了相似中的“A”字形相似和“X”形全等，即考查了基础知识，又注重了数学思想和方法。

证法4:如图4不做辅助线：充分利用AE与AF夹在AD//EM之间的相等线段，因为AD//EM,所以DM∶BM=AE∶EB,DM∶CM=AF∶FC，因为BM=CM，所以FC=EB，所以BE=（AB+AC）。

证法5:如图5全等法+平行四边形:过B点做BG//EM，过C点做CG⊥BG与EM的延长线交于N点，则FN为CG的垂直平分线，所以GF=FC,∠GFC=∠CFN,可以证得∠GFC=∠E,得BE//GF,则四边形BGFE为平行四边形，则BE=CF，所以BE=（AB+AC）。

本题证法的多样性体现了不同学生对问题的不同理解，有效地考查了学生时所学知识的理解和解决问题的能力，体现了对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动的综合考查。因此，我们在平时教学中要积极引导学生，注重思想方法的总结，重视通性通法的落实，尊重学生的个性，让学生享受数学活动带来的乐趣。长期下去，学生就会对几何图形有自己的认识，还能自己总结出基本图形，让学生感受到数学模型思想的价值。