一道课本习题的变式考法

一道课本习题的变式考法

冯健

冯健广西柳城县龙美中学545200

很多练习、习题、中考题都可以在课本中找到它的原型，只是在课本原题的基础上对题目的条件或结论作了一些变式，得到新的题目。

下面仅以一道几何证明题进行例举分析。

题目：（人教版数学课本八年级上册P58第11题）如图1，△ABD与△ACE都是等边三解形，求证：BE＝DC。

证明分析：根据已知条件用“边角边”定理，可以判定△ADC≌△ABE,即有：BE＝DC。

一、形变而神不变

图形的位置改变而条件不变。

变式1：若将两个等边三角形旋转一定的角度后，得到如图2，其它条件不变。求证：BE=DC。

分析：用“边角边”定理同样可以证明△ADC≌△ABE,于是可以得到结论。

变式2：（把△ADB绕点A旋转一定的角度）如图3，△ABD与△ACE都是等边三解形，求证：BE＝DC。

分析：用“边角边”定理同样可以证明△ADC≌△ABE,于是可以得到结论。

变式3：（把两个等边三角形放在同一条直线上，且在直线的同一旁）如图4，△ABD与△ACE都是等边三解形，求证：BE=DC。

分析：证明的方法与上面一样，通过全等，得到对应边相等。

变式4：（把两个等边三角形放在同一条直线上，且在直线的两旁）如图5，点B、A、C在同一条直线上，△ABD与△ACE都是等边三解形，求证：BE＝DC。

证明的方法与前面一样。

点评：题目的条件不变，通过两个等边三角形位置变换，重新再组合成新的题目，只要掌握好等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，这类问题便会迎刃而解，可达到举一反三，融合惯通的目的。

二、形不变而神变

题目的基本图形不变，而结论改变。

变式5：如图6，点A、B、C在同一条直线上，△ABD与△ACE都是等边三解形，BE交DA于M，CD交AE于N，判断△AMN的形状。

分析：易求得∠EAD＝60°，于是可以大胆的猜想△AMN是等边三角形，通过证明△BAE≌△DAC（SAS），

可得：∠ABE=∠ADC,再证明△AMB≌△AND（ASA），

可得AM=AN，所以△AMN是等边三角形。

总结：在图6中，蕴含有很三角形全等、多组线段相等、多个角是60°等结论，这里就不再一一例举。

变式6：（12年张家界中考题），如图7，已知线段AB=6，C、D是AB上两个点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB的同一侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点的移动路径为：______。

解析：如图8，分别延长AE、BF交于点H,∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵G为EF的中点，∴G也为PH的中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=2，即G的移动路径长为2。

点评：以上两题在原题的基础上对题目的结论作了变式，扩大了习题的知识面，促进了知识点的迁移和融会贯通，拓展了学生的思路，培养了学生的观察力和想象力，激发学生的创新能力。

三、神形皆变

题目的条件和结论都有改变。

变式7：题目（2012年江苏省扬州市中考题）如图9，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形△ACD与△BCE，那么DE长的最小值是______。

分析：这道题在上面题目的基础上把条件中的两个等边三角形变为两个等腰直角三角形，结论也相应的变化了。

解题思路1：（构建二次函数关系求解）如图9，连结DE，可设DC=x，则可用含x的代数式表示AC、BC、CE的长度，在直角三角形DCE中运用勾股定理，把DE的长转化为二次函数的解析式，求出其最小值为1即可。

思路2：（“利用垂线段最短”这一性质求解）如图10，作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，则有，四边形DFGH是矩形，则DH=FG=AB=1，明显DE≥DH，所以DE的最小为1。

变式8：如果把这题的两个等腰直角三角形△ACD与△BCE又换成两个等腰三角形，其它条件不变，DE的长还存在最小值吗？

分析：如图11，利用上面的思路2，很易求得出DH的值为1。

总结：这种解法具有一般性，可以有以下结论：如图12，点C为线段AB的一个动点，分别以AC、BC为底边在AB的同一侧作两个等腰三角形△ACD与△BCE,那么DE的长存在最小值，且最小值为AB长度的一半。

这类题目主要考查学生基本概念、基础知识的运用，对题目及图形的分析能力。这要求我们在平时的教学中，除了培养学生的解题能力外，还要培养学生的变式能力。它比纯解决问题更能训练思维的缜密性和严谨性，也利于学生在平时考试中能迅速的看出试题在课本中的影子，并很快找到问题的突破口。学生在平时的训练时，要围绕某些典型问题进行集中的训练，以培养以点带面，触类旁通的能力。