郑燕燕（福建省福州市第十中学数学组福建福州350011）
【摘要】圆系方程是一种特殊的方程，在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。圆系方程在高中数学的应用较为常见，这其中若能充分利用公共弦所在直线方程，灵活使用圆系方程，便可以进一步优化解题过程。
【关键词】圆系方程公共弦优化
中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1672-2051（2019）05-098-01
圆系方程在解题中的应用大家并不陌生，通过设圆系方程，可以减少计算量，解题简便易行。熟知，过直线＋＋Ｃ＝０与圆＋＋＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ），而过两圆:＋＝0，:＋＝０交点的圆系方程为：＋＋（＋）＝0（其中≠-１，该圆系中不含圆:＋＝０）
特别地，当＝－１时，以上方程化为,当两个圆相交时，其表示两个圆公共弦所在直线方程，而当两个圆相切时，其表示两圆的公共切线方程。
值得注意的是，当利用上述圆系方程时为了避免讨论圆，可将上述圆系方程等价转化为过圆和两个圆的公共弦所在的直线交点的圆系方程:
，其在解题中的应用更具优越性。
例1、求过两圆的交点，且经过的圆的方程。
解析：若利用圆系方程，则可设所求圆的方程为进一步将代入，却得到，显然无解。此处利用圆系方程受到一定的阻碍，但若先利用两圆方程作差求出其公共弦所在直线方程为，则可设所求圆的方程为将代入可得，于是所求的圆即为。
注：通过以上解法对比，利用两圆构造圆系解题有一定的局限性，那么在可能的情况下，把两圆的圆系转化为圆与直线的组合更为简捷完整一些。
例2、求过两圆和的交点，并且面积最小时的圆的方程。
解析：此处要求面积最小时的圆的方程，如果利用过两个圆的交点的圆系方程来处理，虽然可行，但较为繁琐，而如果能先求出已知两个圆的公共弦所在的直线方程，利用圆与两圆公共弦建立圆系方程解题，便可减少计算量。
解：圆和的公共弦所在直线方程为
过直线与圆的交点的圆系方程为，即
，依题意，若所求圆的面积最小，则圆的半径要最小，于是两圆的公共弦即为所求的圆的直径，则要满足圆心在公共弦所在直线上即可，由，得代入圆系方程便可得所求得圆的方程为。
解析：为了避开计算复杂的常规解法，只需考虑到前面的方程的含义：当两个圆相交时，其表示两个圆公共弦所在的直线方程，而当两个圆相切时，其表示两圆的公共切线方程，则解决此题就显得快捷多了。
解：由于过的圆的切线为，便可与已知圆构造圆系，设所求的圆的方程为，代入可得，所以所求的圆方程为,整个过程简单明了，一气呵成。
从以上几例不难发现，解题中碰到需要利用圆系方程时，若能借助公共弦所在直线建立圆系方程，往往能优化解题过程，缩减计算量，取得更好的解题效果。
参考文献：
［1］谢维勇．巧用圆系方程简化解题过程[J]．中学教研（数学），2008（4）
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