分类讨论思想在初中教学中的应用

分类讨论思想在初中教学中的应用

潘素娟

四川开江普安中学潘素娟

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

分类思想所强调的是要做到对教学内容进行梳理，使之条理化，将复杂问题通过归类简单化。通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，使问题易于解决。解答分类讨论问题的策略大致有以下几个步骤：首先是要明确需要讨论的对象，以及讨论对象所包含的全体范围；其次是要确定科学的分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重，然后对所分种类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后是进行归纳小结，综合得出结论。掌握用分类讨论思想解题的关键是搞清楚哪些情况下会引起分类讨论，下面就引起分类讨论的一些常见情况进行归纳。

一、有关概念、定理、公理等问题的分类讨论

有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。另外初中数学中有一些定理、公式、法则和性质等内容是分情况给予表述的，或者有其特定的适用范围，或者有一定的限制条件，因而在教学过程中要让学生注意领会公式、性质的限制条件，并且能够在具体应用时根据这些限制条件来确定分类标准进行讨论。由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。

例如：已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x(k≠0)

（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？。

（2）设(1)中的两个交点为M、N，试比较∠MON与90°的大小。

本题第(1)小题求得k<16且k≠0；在解第(2)小题时，由于0<k<16或k<0这两种取值所得反比例函数的图像有两种情况，因此要根据参变量k的不同取值进行分类讨论。0<k<16时，两个交点在第一象限，∠MON<90°；k<0时，两个交点在二、四象限，∠MON>90°。

二、根据图形的位置变化或形状的变化的分类讨论

关于几何教学所涉及的图形问题，由于图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须分类讨论，如图形本身的大小、形状以及图形间的位置关系等有多种可能，需要根据具体的不同情况分别地加以探讨，才能使问题得到全面而完整的解决。例如，已知半径为1的两圆外切半径为2且和这两圆都相切的圆共有几个，此题很容易漏解，原因是缺乏分类思想，因此在解题时要考虑各种可能的情况，和这两个圆同时相切的圆可分为以下三类：同时外切的情况有2个，同时内切的情况有1个，一个内切，一个外切的情况有2个。因此共有5个。

三、数学应用题中的分类讨论

在初中数学课本中，针对数学应用题的分类讨论也比比皆是这时应有分类讨论的意识，需认真分析产生不同影响的因素，明确讨论对象，使题目解答完整。

例如4个劳力种60公顷地.这块土地适宜蔬菜、棉花和小麦，对这三种农作物每公顷所需的劳力数及每公顷的收益预计如下：

项目每公顷所需劳力数每公顷收益数（万元）

蔬菜1/20.6

棉花1/30.5

小麦1/40.3

请你设计一种方案，使全部劳力都有活做，且总的收益最大，并求出这个最大值

解：设种蔬菜x公顷，种棉花y公顷，则种小麦（60-x-y）公顷。

所以x*1/2+y*1/3+(60-x-y)*1/4=24

解得y=108-3x

所以种蔬菜x公顷，种棉花（108-3x）公顷，种小麦(2x-48)公顷，所以0≤x≤60,0≤108-3x≤60,0≤2x-48≤60

解得24≤x≤36

设总收益为W万元，则

W=0.6x+0.5(108-3x)+0.3(2x-48)

=0.6x+54-1.5x+0.6x-14.4

=-0.3x+39.6

因为W随x的增大而减小，所以当x取最小值x=24时，W最大，所以，这种方案为:种蔬菜24公顷，劳力12人；种棉花36公顷，劳力12人；种小麦0公顷，劳力0人

让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，养成主动合理利用分类思想的习惯。首先是将分类思想渗透到学生思想中，使之养成分类的意识。其次是要向学生讲解分类方法，让学生了解，培养学生正确的分类思维习惯。最后是教师要引导学生进行分类讨论，提高合理解题的能力初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类。

总之，初中数学中的分类讨论是一种重要的数学思想，有利于增强学生思维的条理性、缜密性和科学性，促进课堂教学效率的提高。总之，利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。