课本例题思想方法的探究

课本例题思想方法的探究

孟宪成

徐州沛县二中孟宪成

立体几何“最短长度”问题是高中数学的一个难点，它具有多元化、广泛性、渗透性等特点，这些因素构成了立体几何中别具一格的风景线。借助实物模型，，结合多面体的平面展开图将空间“最短长度”转化为平面问题，是解决空间“最短长度”的一种切实有效的方法。江苏教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·必修2》第51页有这样一道例题：

有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）

这道例题的难点是想象如何将绕在铁管上的铁丝展开在平面上。为了突破这个难点，我采用如下分步处理方法：

首先探究绕1圈时最短长度是多少，我按如下步骤操作：

第一步：师生各自将铁丝缠绕大小相同的圆柱形铁管一圈，比较谁缠绕的铁丝较短；

第二步：小组合作先将纸片缠绕圆柱形铁管1圈，再将铁丝缠绕圆柱形铁管一圈；

第三步：把纸片及缠绕其上的铁丝沿母线AD展开在平面上，比较哪一小组缠绕的铁丝较短；

第四步：师生共同讨论得出线段AC的长度就是铁丝的最短长度。

其次探究绕2圈时最短长度是多少，我按如下步骤操作：

第一步：小组合作先将纸片缠绕圆柱形铁管1圈，再将铁丝缠绕圆柱形铁管2圈；

第二步：把纸片及缠绕其上的铁丝沿母线AD展开在平面上；

第三步：将铁丝EG向右平移2πcm，比较哪一小组缠绕的铁丝较短；

第四步：师生共同讨论得出线段AC的长度就是铁丝的最短长度。

最后探究绕4圈时最短长度是多少，我按如下步骤操作：

第一步：小组合作先将纸片缠绕圆柱形铁管1圈，再将铁丝缠绕圆柱形铁管4圈；

第二步：把纸片及缠绕其上的铁丝沿母线AD展开在平面上；

第三步：将铁丝EI、FJ、GK分别向右平移2πcm、4πcm、6πcm，比较哪一小组缠绕的铁丝较短；

第四步：师生共同讨论得出线段AC的长度就是铁丝的最短长度。

结合多面体的平面展开图，利用本节推导柱、锥、台体表面积公式的思想方法——空间问题平面化的思想方法，借助实物模型，直观感知、动手操作确认与思维论证，大大降低了问题的难度，也符合学生的认知水平和新课标的要求。这种方法在实际生产生活中有着广泛的应用，现举例如下：

例1.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为。

分析：解题时要注意包装纸的包装要求，同时也要结合正方形包装纸和正四棱锥P-ABCD这两个图形的对称性，可以把正四棱锥P-ABCD的表面展开，将问题转化为平面几何的问题。

解：将正四棱锥P-ABCD的表面展在同一平面上。

由题意知四边形P1P2P3P4为正方形，且正方形P1P2P3P4包装纸即为所求的边长最小的正方形包装纸。

在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，所以P1E=P3F=■，EF=1，故P1P3=■+1，P1P2=■（■+1）=■。

所以，包装纸的最小边长应为■。

例2.水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕管道外部。若要使带子全部包扎且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况），这就要精确计算带子的“缠绕角度”α（α指缠绕中将部分带子拉成平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）。若带子宽度为1，管道直径为2，则“缠绕角度”α的余弦值为。

分析：解题时不需考虑对整个管道进行包扎，重点注意带子的包扎要求，动手操作，借助管道的部分侧面展开图将命题进行转化。

解：沿线段AB所在管道的母线将其侧面展开，部分侧面展开图，其中线段A′B′与线段AB在原管道侧面上重合，且EE′∥BB′，EE′⊥A′B′。由题意知，∠BE′E=α，EE′的长度等于管道底面圆的周长，即EE′=2π·1=2π。过点作EF⊥BE′交BE′于点F，则EF=1。在Rt△EE′F中，cos∠BE′E=■，故“缠绕角度”α的余弦值为■。

借助实物模型，直观感知、操作确认与思维论证，利用空间问题平面化的思想方法求解空间“最短长度”，思路新颖、方法巧妙，它倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，可以帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，这值得我们每一位数学教育教学工作者认真揣摩、体会。