万变有其宗横侧皆成峰

万变有其宗横侧皆成峰

许旭飞

关键词：类比；三角形；四面体

一、形活则神聚：平面几何与立体几何的类比

平面几何中的许多结论，可以推广立体几何。其中有许多推广是通过类比建立起来的。类比推理是从两个或两类事物在许多属性上都相同(或相似)，而且已知其中一个对象还有其他特定属性，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论。类比思想是“形与神的统一”，其中“形的统一”是指数学表达式的结构或数学文字结论所类比的结果要与已知的结论在形式上大体一致，这是类比推理的前提；而“神的统一”是指类比推理的本质----思想、方法与条件中所运用的思想、方法一样，这是类比推理的关键。平面几何与立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的。因此，在两者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法。

为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：

二、水到则渠成：从三角形到四面体的类比

1.概念与性质的类比

(1)三角形是边数最少的凸多边形；四面体是面数最少的凸多面体，且其各面都是三角形。(正因为如此，三角形与四面体有许多方面可以类比，当然也有一些不能类比的地方。)

(2)三角形的三条内角平分线交于一点，在三角形内，它到三角形三条边的距离相等，是三角形的内心，即三角形有内切圆；四面体六个二面角的平分面交于一点，在四面体内，它到四面体四个面的距离相等，是四面体的内心，即四面体有内切球。

(3)三角形三条边的垂直平分线交于一点，它到三角形三个顶点的距离相等，即三角形有外接圆；四面体六条棱的垂直平分面交于一点，它到四面体的四个顶点距离相等，即四面体有外接球。

(4)三角形三条边上的高线交于一点，该点即三角形的垂心。但四面体四个面上的高线可能不交于一点。比如，在四面体中，若平面，且，四面体四个面上的高线显然就不交于一点。

(5)三角形三条边上的中线交于一点，该点即三角形的重心，在三角形内，它将每一条中线分成2:1的两段。三角形的重心与各顶点的连线将原三角形分割成三个等面积的小三角形。在平面直角坐标系中，三角形重心的坐标等于其三个顶点坐标的算术平均数。四面体的四个面上的中线(连接面的重心和与该面相对顶点的线段)交于一点，该点即四面体的重心，在四面体内，它将每一条中线分成3:1的两段.四面体的重心与其四个顶点连线，得到四个等体积的小四面体。在空间直角坐标系中，四面体重心的坐标等于其四个顶点坐标的算术平均数。

(6)三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点称为三角形的旁心，它到三角形三条边说着直线距离相等。三角形有三个旁心，均在三角形外。过三角形旁心和内心的直线经过三角形的一个顶点，其余两个顶点和这个旁心以及内心四点共圆。四面体有四个旁心，均在四面体外。每个旁心到四面体各面所在平面距离相等。过四面体旁心和内心的直线经过四面体的一个顶点，其余三个个顶点和这个旁心以及内心五点共球。

(7)三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；四面体任意三面面积之和大于第四面面积，任意两面面积之差小于其余两面面积之和。

(8)三角形内角之和等于；但四面体的六个二面角之和不是一个定值。这一点上不可类比。

(9)等腰三角形的两底角相等，两内角相等的三角形是等腰三角形；正三棱锥的侧面与底面所成的三个二面角相等，但侧面与底面所成的三个二面角相等的三棱锥不一定是正三棱锥。

(10)等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一；正三棱锥相邻侧面所成的三个内二面角的平分面的交线、底面的中线(连接底面重心和顶点的线段)、底面上的高重合，即三线合一。

(11)正三角形三条边相等，三个内角相等，内心、外心、重心、垂心四心合一。正四面体四个面全等，六个二面角相等，内心、外心、重心、垂心四心合一。

(12)正三角形内任意一点到三条边的距离之和为定值。正四面体内任意一点到四个面的

距离之和为定值。

2.结论的类比

三、以点带面说类比，取优去劣总相宜：对类比推理在高中数学教学中作用的思考

1.类比在高中数学教学中的作用

《数学课程标准》指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。‘推理与证明’是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。”类比是合情推理常用的思维方法之一，对学生创新精神和创造能力的培养具有重要的作用。通过类比可以激发学生的求知欲，建立新旧知的联系，提高数学思维能力，实现数学发现和创新。

2.注意类比推理的局限性

类比是以两个对象之间的某些相似属性(或共有属性)为根据的由特殊到特殊的推理。但任何相似的两个对象之间总有一定的差异性。所以，类比推理的逻辑根据不充分的，带有或然性，通过类比得到结论可能是错误的。

类比推理得出的结论，有正确的，也有错误的。正是这种局限性，对学生学习新知、解决新问题产生消极性的干扰作用。但波利亚说得好：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。”类比推理有其美中不足之处，但我们不能因噎废食，在数学教学过程中，既要培养学生的类比推理能力，又要努力克服类比引起的负迁移。这需要我们经常从多角度去思考问题，多进行总结归纳，在哪些地方容易产生错误的类比；需要我们“淡化形式，注重实质”“淡化结果，注重过程”，充分暴露数学发现的思维过程；需要我们将合情推理与演绎推理完美地结合起来。

(作者单位：浙江省东阳市外国语学校322100)