重温经典理论提升解题能力

重温经典理论提升解题能力

陆韬

——谈谈波利亚“解题表”在初中数学解题教学中的应用

摘要：解题教学是数学教学的重要环节，其效果直接影响学生的解题能力。作为教师，自己不但要成为新观点下的解题高手，还要能将自己的解题思想、解题经验有效地传递给学生。本文谈论了乔治•波利亚的“解题表”在初中数学解题教学中的应用。

关键词：解题表；解题能力；数学教学

作者简介：陆韬，任教于广西河池市南丹县中学。

《数学课程标准》指出，教师应揭示数学的知识本质及其所体现的思想，帮助学生理清相关知识之间的关系。数学学习离不开解题，而解题教学又是数学教学的一个重要环节。

解题教学是数学教学的重要环节，其效果直接影响学生的解题能力。学生在遇到数学难题时，最渴望知道的就是教师的解题方法，并希望在教师的指导下学会运用这种解法。所以，作为教师，自己不但要成为高观点下的解题高手，同时还要将自己的解题思想、解题经验有效地传递给学生。这就涉及到在课堂教学中如何有效地开展解题教学。在数学家乔治•波利亚的《怎样解题》一书中，高度重视解题过程中的思维方式和教学形式，总结出解决数学问题的一般步骤——解题表，其精髓对培养和提高学生的数学解题能力有着非常重要的作用。

笔者把自身的教学经验和初中数学课程改革的要求相结合，在教学中将“解题表”细化为以下五个步骤：(1)认真审题，弄清题意；(2)经验联想，拟订计划；(3)分步实施，实现计划；(4)探索变化，寻求发现；(5)回顾交流，强化体验。

在五步曲中，“拟订计划”和“实现计划”是解决问题的核心，是解题能否成功的关键，是解题教学中的重点；“探索变化，寻求发现”是结合数学发现法的教学原则，培养学生创造意识和创新能力；而“回顾交流，强化体验”强调的是尊重学生的认知水平和心理感受，促进学生形成良好、健康的心理品质和科学的思维方法，达到培养学生综合素质的目的。

下面结合2006年旅顺口中学统一招生考试数学试卷中第26题的解题教学实例，谈一谈应用波利亚“解题表”进行解题教学的收获。

题目：操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。

说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你完成说明（1）的要求之后，可以从下列①、②中选取一个条件来补充或更换已知条件，再完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。①AN=NC(如图②)；②DM∥AC(如图③)。

附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，画出图形，并说明理由。

一、认真审题，弄清题意

(一)教学实录

教师：提出读题、审题具体要求。

1.搞清题目的已知，并进行简单、直接的推理。

2.明确要证明的结论，并进行简单、直接的条件判断。

3.在图中标出已知条件、直接可知的结论、要证明的结论或需知的条件，并用不同的符号区分。

学生：读题、审题。

学生通过审题得到：①△ABC是正三角形，它的三个角都是60°，三边都相等；②△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，且∠DBC=∠DCB=30°；③∠MDN=60°，且∠BDM+∠CDN=60°。并且经过一系列的操作后，猜想得出BM＋CN＝MN。

(二)设计意图

在这一环节中，学生通过观察、猜想和简单推理，知道了这是一个证明线段和差的问题，虽然无法进行推理证明，但学生对题目内容更加清楚，为解决问题做了充分的准备。

二、经验联想，拟订计划

(一)教学实录

教师：提出如何证明问题，给出分析问题的思路，引导学生寻找证明方法，拟订解题的方案。

1.探索解题思路

解题的一般思路为三种：

(1)已知→可知……→可知→求证；

(2)求证←需知……←需知←已知；

(3)已知→可知……←需知←求证。

对于线段的和与差，学生经过操作容易猜想出要证明的结论。但如何证明呢？这是本题、本节课的核心。

学生猜测：BM＋CN＝MN。

2.寻找解题方法

(1)回忆做过的类似的题目。

教师：我们做过类似的题目吗？或者是见过类似的图形吗？

学生：思考、讨论。

通过讨论，学生想到了曾经做过的一道练习题。

(2)回忆过程，提炼方法。

教师：回想一下这道题是怎样证明的？

学生：利用证明线段和差的“截长补短法”和全等三角形的知识来证明的。

3.回到原题，拟订方案

教师：此法能直接用于中考题的证明吗？为什么？

学生：能，因为这题的条件可以使用截长补短法。

教师：那如何运用呢？

学生：添加辅助线构造全等三角形。

教师：怎样作辅助线，才能构造与我们做过的题目相似的图形？注意充分利用已知条件。

学生1：延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1。（如图④）

学生2：在MN上截取ME=BM,连结DE。（如图⑤）

学生3：过点D作DE⊥MN于点E。(如图⑤)

学生4：将⊿BDM绕点D顺时针旋转使DB与DC重合，得⊿DM1C。(如图④)

教师：太好啦．你们能说说怎样证明吗？

学生1：先证Rt△BDM≌Rt△CDM1，再证MN＝M1N。如图④

学生2：先证Rt△BDM≌Rt△DEM，，再证EN=CN。如图⑤

学生3：先证Rt△BDM≌Rt△DEM，，再证EN=CN。如图⑤

学生4：先通过旋转可知Rt△BDM≌Rt△CDM1，再证EN=CN。如图④

教师：回顾一下这四人的方案：方法1是通过补短法的辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质证明；方法2是通过截长法的辅助线构造全等三角形，但证明全等三角形条件不充分；方法3是通过垂直实现截长的辅助线构造全等三角形，但证明全等三角形条件不充分；方法4是通过旋转构造全等三角形，再利用全等三角形的性质证明。

(二)设计意图

联想过去熟知的问题或图形、回忆方法、构造熟知的图形，把转化思想程式化，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力；在拟订方案过程中，伴随着联想、猜想和简单推理，有利于学生养成合情推理的习惯和形成科学的思维方式。尽管不是所有的思路都能解决问题，但通过这样思维的辨析，可以优化学生的解题过程，鼓励学生寻找最佳方案，培养学生思维的广阔性和灵活性。

三、分步实施，实现计划

(一)教学实录

教师：下面我们利用成功的方案，独立进行证明，证明过程中，注意作图过程叙述要完整，论证过程理由要充分，书写过程语言要准确。

学生：分别运用方法1和方法4进行证明。

教师适时指导，并给出规范的板书。

方法1：解BM＋CN＝MN

证明：如图⑥，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1

由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°

∵BD＝CD

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DCDM＝DM1

∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°

又∵∠MDN＝60°

∴∠M1DN＝∠MDN＝60°

∴△MDN≌△M1DN

∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB

方法4(略)。

教师：学生在运用证法1进行证明过程中，还会遇到一些问题：①利用“截长补短法”来证明线段的和差时，辅助线的表述有困难；②当证明线段的和差常需要把三角形转化为全等三角形来证明，体现了数学中的转化思想，而寻找全等三角形的条件会有一定的困难；③部分学生只着眼于第一对全等三角形，却没有发现第二对全等三角形；④学生4的证法比较简洁，但运用较少，学生不易发现。教师应在学生充分思考的基础上，适时、准确的辅导，是解题教学中非常重要的环节。

(二)设计意图

通过“一题多解”众法寻优的教学，使学生思之广、悟之深；解题教学中适当应用“一题多解”，可以激发学生发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的理解，增强学生对数学思想和方法的运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和创造性；同时使学生有一种成就感。

四、探索变化，寻求发现

在如何引导学生进行数学发现，提出新的数学问题的教学过程中，应当遵循数学问题发生、发展的规律，在数学方法论的指导下，探索有效的教学方式，“一题多变”是训练学生思维发散性的最佳途径，本题的附加题就是一道很好的动点训练题。

(一)教学实录

附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，画出图形，并说明理由。

教师：这是动点问题，需要关注变化前后哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，变化前后解题思路是否有必然联系。

学生证明：略。

教师：动态几何问题的探究，常用类比的思想方法去探究，随着图形中某一（或几个）元素的运动变化，导致问题结论改变，学生解这类题有一定的困难，教师要适时的指导。解动态几何问题要把握以下要点：

1.变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用。

2.图形在变化过程中，弄清哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，原来的等角、等线段是否还存在是解题的关键。

3.几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化。

(二)设计意图

数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，要依据学生的实际情况，循序渐近，所设计的问题要符合“最近发展区”原理。这是一个综合性较强的探究题，对学生的思维能力要求较高，动态几何问题的探究的教学，教师要产善于激发学生的参与热情，鼓励学生积极交流，在交流过程中，激发认知冲突，暴露思维全过程，然后利用“一题多解”“一题多变”等多种途径来揭示问题的本质、展示认知过程，培养学生对立统一、以不变应万变的辩证唯物主义思想以及创造性思维能力。

五、回顾交流，强化体验

(一)教学实录

教师：向学生提出下列问题：(1)回顾本节课的教学，体会解决数学问题的思路。(2)本题的几种解法中，应用了哪些基础知识？你更喜欢哪一种解法？(3)你做出来了吗？没做出来的原因是什么？结合一题多解、一题多变谈谈你的收获。(4)对本题的充要性质疑，及用运动变化的观点理解静止的数学问题，你有何体会？你理解了一般与特殊的关系吗？

(二)设计意图

这是非常重要的一个环节，学生在回顾解题过程的方法运用、方法选择和心理感受中，巩固知识、方法，强化选择与判断、猜想与证明的体验，有助于学生形成科学的思维方式。

总之，在解题教学中，要适时地把“五步曲”融合进去，这不仅是乔治•波利亚《解题表》的要求，更是有效地提高学生的解题能力和是数学方法论的要求。

参考文献：

[1]波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

[2]邱继勇.提升“变式教学”理念，培养学生创新能力[J].中学数学教学参考,2005(7).

作者单位：广西河池市南丹县中学

邮政编码：547200