数学教学中的结构化策略

数学教学中的结构化策略

蔡佩蓉

蔡佩蓉上海市虎林中学

中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）09-096-02

无论是数学学科的知识体系，还是学生数学学习的过程，原本都是一个完整的系统，只是为了教学实施，不得不分割成一个一个学期、一个一个单元和一个一个课时来组织和进行。这样的分割，很容易造成课堂教学的“封闭”和认知结构的“脱节”。有效的数学课堂教学，应该是集整体感和系统思维于一体的教学，应该是帮助学生理解和掌握数学知识系统、不断完善学习认知结构的教学。

一、数学知识的结构化分类

简单的说数学知识中包含显性知识和隐性知识。显性知识指可用某种形式（如语词、图象、符号等）表述的知识，如数学的定义、定理、原理、法则、公式等；隐性知识指无法表达且常常意识不到其存在的知识，它们以感受、经验、思路、策略等形式存在。我们往往忽视隐性知识的意义。比如我们解出一道难题，试问：为什么选择那条思路、为何能从条件一下子猜出通向结论的途径、此路不通时是如何转向的等，因为这许许多多“数学思想方法”、“问题解决策略”的知识对我们来说都是隐藏地存在并隐蔽地起作用的。隐性数学知识只能在长期反复的数学活动实践过程中发生、积累和积淀，还需要辅以教师的启示、示范、熏陶，所以新课改总是强调让学生多多经历数学活动过程。

资优生与学困生的本质区别就在于资优生能将点连成面，从而形成了自己的隐形知识，而学困生只看到了点，他们的解题过程就是通过自己的临时记忆或通过题海强化而得来，一旦遇到多个知识点的题时就无从下手。因此我们在数学的教学中要尽量克服数学知识散乱，在课堂上有意识的将数学知识“结构化”，在教与显性知识的同时慢慢的让学生培养自己的隐形知识。

二、数学知识的基本结构关系有二种：纵向推导关系、横向对应关系

1、纵向推导关系：即把数学知识之间的逻辑推导关系找出来，建成一个知识链A—>B—>C—>D—>……要勤于指导学生把一个个单元、一个个学期乃至整个学段所学的数学知识如此串起来，让学生反复经历“这个知识怎么从前面的知识推出来”的演绎思维过程。这样所学知识就会由繁变简、由难变易、由分散变联结，解决问题时找到一点就能带出一大串，发挥作用。建立这种关系最需要的思维活动是在分析的基础上概括，要让学生每天、每阶段主动概括所学知识，把它们从相互孤立的状态转变成逻辑相关的知识链。案例：《四边形复习》这些图形的定义和判定之间存在着逻辑推导的关系，对于学生而言如果理解了这之间的纵向关系，那么对这些图形的定义和判定就能很轻易的掌握。其实这种纵向的知识结构化不仅存在于不同章节之间，在单个知识点的教学中也是可以运用的.案例：《解二元一次方程组》的“代入消元法”在方程（组）和不等式（组）的解法中我们通常所说的解题的步骤，其实这就是一种纵向的结构思维，在这些知识的教学过程中如果我们的学生能体会其中的结构，那么整个方程（组）和不等式（组）的知识点基本能轻松掌握。通过这样的一个思维过程培养，可以让学生积极主动参与知识的形成过程，体验到学习数学的乐趣，使学生能更有效地理解和掌握，同时让他们获得了数学思想方法，并培养了学生探索问题的能力（图1、2）。

图1图2

2、横向对应关系：初中整个的数学知识是一个大系统，在这个大系统中又可分成许多子系统，把各子系统横向比较，会发现它们之间的一种对应关系：其组织结构可能相同，此时称其“同构”。几何中三角形与各种多边形的研究方式同构，先定义概念，再研究图形性质（组成它的点、线、面数量与性质，内部存在的角的大小，周长、面积），再研究它与其他图形的关系（相等、相似、平行、垂直、等）；案例：我们还是拿《四边形复习》的性质来举例：

边角对角线对称性

平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称

矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称

中心对称

菱形对边平行，四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称

中心对称

正方形对边平行，四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角轴对称

中心对称

等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的

两个角相等两条对角线相等轴对称

在四边形这个章节中，平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的研究中就是一种同构，先定义概念，然后分别从边、角、对角线、对称性、判定、性质角度进行研究，如果我们的学生能抓住这样的一种同构特点，那么对这些图形的理解和掌握就不会感觉有什么负担，相反能更好的理解与掌握。研究函数同样如此，不论是正比例函数，反比例函数、一次函数、二次函数，都是先定义这个函数，再研究自变量的取值范围，再研究它的图像、再研究它的性质（函数随自变量的变化情况，与坐标轴的交点问题等）等。这种同构在单课时中也能体现出来，我们拿《三元一次方程组的解法》来说可以这样设计：

（1）思考问题：解二元一次方程组的基本方法有哪几种？解二元一次方程组的基本思想是什么？我们怎样解三元一次方程组呢？同学们可以小组讨论一下。

得到解三元一次方程组的思想方法是：

三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组

（2）例题讲解

请同学们尝试着完成下面一道题目：

例题2解方程组：

我们知道三元一次方程组的解法和二元一次方程组的解法其实就是一种同构。有了前面基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力．

对这种各知识子系统“同构”关系的发现与把握很有价值，通过找到各子系统的相同结构，而获得“举一反三”之效，促进理解、简化记忆，再次，了解了不同知识单元建构方式的同构性，学生就能应用已学单元的构建方式去自主探究新数学知识单元，此时，数学基本思想方法就内化成了学生的数学认知结构。

数学是一门深奥的学科，研究它的方法有很多，如果做好了上述两方面工作，使数学知识克服了贫乏单调与散乱无序，呈现出丰富、严谨的状态，就能说我们实现了数学知识的结构化。