谈谈数学模型之一：一次函数在方案设计问题中的应用

谈谈数学模型之一：一次函数在方案设计问题中的应用

王小平

王小平

摘要：数学模型是用以描述和研究客观现象的运动规律的，包括数量关系和空间形式，是从现实生活实践中抽象出来的，又运用于生活实践，研究数学模型并运用好数学模型，可以准确地指导我们的生活和生产。因为我们的一生是动态的，乃至整个世界都处于运动变化之中，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题。一次函数是其中之一，是一种研究运动变化的重要数学模型，关注它并能综合灵活运用有着深远的意义。本文就举例谈了一次函数在设计方案中的应用。

关键词：数学模型；一次函数；方案设计问题；应用

一、环保与生产问题方案设计

例1.某化工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中，平均每生产1件产品就有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两种对污水进行处理的方案并准备实施。

方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费用2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；

方案二：将污水排放到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．

(1)设：生产产品的数量为x件，工厂处理污水的费用为y元，请分别写出两种方案中工厂处理污水的费用与生产产品的数量的函数关系表达式；

(2)你认为该工厂应如何根据每月生产产品的数量选择污水处理方案？

解：(1)y1=30000+2×0.5x，即y1=x+30000；y2=14×0.5x，即y2=7x；

(2)当y1＝y2时，30000+x=7x，解得x=5000，

当x＞5000时，y1＜y2；当x＜5000时，y1＞y2，

所以当工厂每个月生产5000件时，两种方案选哪个都一样；

当工厂每个月生产量小于5000件时，方案二划算，可选方案二；

当工厂每个月生产量大于5000件时，方案一划算，可选方案一．

点评：这个问题表面看难以下结论，一次函数建模，通过计算就可以帮助厂商进行优选生产方案。

二、民生问题方案设计

例2.某市移动通迅公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元(这里均指市内电话)。设一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．

(1)写出y1，y2与x之间的函数关系式(即等式)；

(2)一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？

(3)若某人预计一个月内使用话费110元，则应选择哪一种通话方式较合算？

解：(1)y1=0.2x+50，y2=0.4x．

(2)由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250（分钟），

所以，当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同；

(3)由0.2x+50=110，解得x=300（分钟）；

由0.4x=110，得x=275（分钟）.

∵300>275，∴选择第一种通话方式比较合算．

点评：商家以利为重，但是老百性能掌握一门技能，通过科学的计算，就可以从中受益。

三、优惠问题方案设计

例3.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。

(1)甲、乙两公司单独完成这项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，选择哪个施工队施工合算？请你帮承包商出注意。

解：(1)设甲公司单独做需要x天完成任务，乙公司需要1.5x天完成任务，

由题意，得12＝1解得x＝20（天），1.5x＝30（天）.

所以甲独做需要20天完成任务，乙独做需要30天完成任务。

(2)设甲公司每天的施工费为y元，乙公司每天的施工费为（y-1500）元，

则有12（y+y-1500）=102000解得y＝5000，y-1500＝3500.

所以甲公司每天的施工费是5000元，乙公司每天的施工费是3500元.

甲公司独做施工总费是：5000×20＝100000（元）；

乙公司独做施工总费是：3500×30＝105000（元）.

∵100000元＜105000元，∴如果独做甲公司的施工费用较少。

由以上计算可知：承包商选择甲公司施工比较合算。

点评：对于承包商来讲，不能将工程盲目的出包，需通过精准的计算，确定预算内的最佳承包方案，以确保工程的质量顺利施工。

四、调运问题方案设计

例4.某山区有A、B两个村庄盛产苹果，A村有苹果200吨，B村有300吨，现将这些苹果运到C、D两个冷藏仓库。已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C、D两处的费用分别为每吨25元和32元.设从A村运往C仓库的苹果为x吨，A、B两村运苹果往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元.

(1)请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式，并确定变量x的取值范围；

CD总计

AX吨200吨

B300吨

总计204吨260吨500吨

(2)当x为何值时，A村的运费较少？

(3)请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？并求出最小值.

解：(1)填表如下：

CD总计

AX吨（200－x）吨200吨

B（240－x）吨（60+x）吨300吨

总计204吨260吨500吨

yA＝40X+45（200－x），即yA＝－5x+9000,

yB＝25（240－x）+32(60+x)，即yB＝7x+7920

由表格知：0≤x≤200.

(2)由（1）知yA＝－5x+9000,∵k＝－5＜0∴yA随x的增大而减小，即yA是减函数，

对于0≤x≤200，当x＝200时，yA有最小值，且yA最小＝－5×200+9000＝8000（元）.

(3)设两村的费用之和为W＝yA+yB＝2x+16920，由x的系数2＞0知W是增函数，对于0≤x≤200，当x＝0时，W有最小值，且W最小＝2×0+16920＝169209（元）.

CD

A0200

B24060

调运方案如表格所示：

CDA0200B24060

点评：对于货运商在商品交易的过程中，总想用最少的投入获取最大的收益，这就需要正确方案的确方可实现。

五、利润问题方案设计

例5.某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元.

(1)如该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且两种商品全部售出后利润不少于890元，请你帮店主确定进货方案？

(3)以上方案中选择哪种进货方案，能使总利润最大，最大利润是多少？

解：(1)设该店主购进甲商品x件，乙商品为（100－x）件，由题意，得

15x+35（100－x）＝2700解得x＝40（件），所以100－x＝60（件）.

所以店主应购进甲商品40件，乙商品为60件.

(2)由题意，得,解得20≤x≤22（x只取整数）.

方案一方案二方案三

甲（x）件202122

乙(100-x)件807978

进货方案如右表所示：

方案一方案二方案三甲（x）件

20

21

22

80

79

78

(3)设总利润为y＝（20－15）x+（45－35）（100－x）即y＝－5x+1000，

因为k＝－5＜0，所以y是减函数，对于20≤x≤22，当x＝20时y有最大值，

且y最大＝－5×20+1000＝900（元）.

点评：街面店铺开了不少，有的店主开店转钱，有的店主却亏本关门。所以店主要想转钱需要用知识武装头脑，科学经营方可赚钱。

作者单位：宁夏中卫第三中学

邮政编码：755000