以问题为中心，走进新课程

以问题为中心，走进新课程

林天国

——谈与圆有关的距离问题

林天国

摘要：《数学课程标准》的颁布，对我国高中数学教学将产生深远而重大的影响。新课程改革是教育改革的核心内容，新课程体系改变了学生的学习方式，同时也改变了教师的教学方式。众所周知，距离是刻划位置关系的重要几何量之一，圆是学生所熟悉的几何图形。在初中平面几何中，着重从“形”的角度研究了圆的几何性质；在高中解析几何中，又从“数”的角度研究了圆的标准方程及性质。《圆》的教学能真正体现出解析几何的精髓，《圆》是解析几何教学中不可忽视的知识点，它是从直线形向曲线形过渡的转折点，也是高考命题的热点。本文拟从数与形两个方面探讨了与圆有关的距离问题。

关键词：数学教学；圆；数；形

一、问题提出，培养学生提出问题的意识

距离的计算，有多种方向选择，既可联系到平几知识、图形性质及解三角形，亦可运用向量有关知识实现计算，还可以运用解析几何的有关距离公式。现行《数学课程标准》中，对几何的设计是按三个不同层次进行要求：必修部分的几何、选修系列1与选修系列2中的几何以及选修系列3与选修系列4中的几何。强调应用意识、强调问题背景、培养学生提出问题、解决问题的能力是高中新课程改革的理念，也是新课程标准下教材编写的基本特色之一。人教A版教材P137页在《直线、圆的位置关系》引题中，“一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域；已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么是否会受台风的影响”？

记台风中心所在的位置为O，船的初始位置为A、港口为B。从图形看，由于A和B目前均在台风影响区域之外，故应研究“途中”是否受影响。该问题的解决可通过研究台风影响区域“圆”与船的航线“直线”的位置关系；从问题的背景看，也可理解成“航线”上的点与“台风影响区域”是否有公共点，或者说是台风影响区域内任一点与航线上各点的距离问题。

二、问题解决，培养学生探究问题的习惯

从研究圆上的点与直线上的点的最小距离这个角度出发，有下面三种常用方法。

故该船无须改变航线。

方法一、二中，应用了几何法及计算法，通过求圆心到直线的距离，进而结合圆的几何性质，体现了“化变量为常量”的思想。实际上，记圆心到直线的距离为d，圆上任一点到该直线距离为|PA|，则由三角形的性质得：||PA|－d|≤r(直线与圆相离)，得|PA|的最小值为d－r，最大值为d+r，或||PA|－r|≤d(直线与圆相交)，得|PA|的最小值为r－d，最大值为d+r；方法三应用了圆的参数方程，即通过三角换元，达到消元降次的目的。先求出与已知直线平行且与圆相切的直线方程，进而转化为两平行线的距离，把曲线问题转化为直线型问题，也是引类问题中常用的解题手段。

三、问题延伸，培养学生综合应用的能力

圆上的点到直线距离的最大值和最小值的解决办法，还可以进一步引伸，进而解决圆上动点到已知点距离的最值问题，实际上，记已知点为A，圆心为O，圆半径为r，|OA|=d，则圆上点P到点A的距离|PA|的最大值为d+r，最小值为|d－r|；对于两已知圆上二动点间的距离的最大值和最小值也可结合图形直观同上法解决。

例1.设P(m,n)为圆x2+y2=3上的任意一点，若不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围。

由于P、Q分别在圆以及抛物线上运动，若设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则出现双变量的函数最值问题，由于是二个独立运动的点，故无法消元，这在中学阶段难以解决。在具体的求解过程中，应用了三角形中的不等式关系：|PQ|≥|CQ|－|CP|，以及圆的旋转不变性，从而把问题转化为“求圆心C(定点)与抛物线上的点Q(动点)间距离的最小值问题”，体现了“消元”这一思想方法的应用。

例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的南偏西300方向210km的海面P处，预计在未来12小时内，台风将以20km/h的速度向北偏东600方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，12小时后将逐渐减弱。问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。(根据2003年高考改编)

分析：由于台风中心是运动的，同时，台风影响的圆形区域(半径)也是变化的，这无疑给审题带来很大的困难。从相对论的角度讲，把台风中心Q看做“定”的，则城市O就应看成“动”的，还是一道关于动点与已知圆或已知点(圆心)间的距离问题。

解：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系如图，设t小时后该城市受台风影响，

答：6小时后该城市开始受到台风的侵袭。

解析法是在坐标系下，对“几何图形”进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，进而应用数量关系研究坐标平面上的直线与曲线的有关性质。我国著名数学家吴文俊先生在此作出了重大的贡献，应用计算机技术，通过代数方程的“求解、计算”，实现几何性质的“求值、论证”。

解析几何不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来，是中学数学教学的重要素材。高中新课程标准中，三角函数安排在必修④，在高一教学中不宜引入，但三角换元法在消元以及降次上的作用不容忽视。

数学教学，其核心是培养学生的思维，而思维能力的培养，需要有一个“实践─认识─再实践─再认识”的过程。有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。让学生在做数学过程中，体验感受数学，深入理解数学知识的生成过程。高中新课程改革的核心就是为了每位学生的健康成长，为学生的“自主、合作、探究”提供条件、创设情境，努力实现“三维”目标。

新课程的实施，必将对教师的成长和发展提供一个很好的平台和机会。对一线教师而言，既是机遇，也是挑战。新一轮的基础教育课程改革实验是一项前所未有的教育改革工程，没有现成经验和固定模式，我们这一路走来，就是要紧紧依托教科研，步步走进新课改，我们相信，在浓厚的科研氛围下，在大力推进新课改的进程中，不断探索、不断追求、不断创新，基础教育课程改革实验的明天一定会更美。

（作者单位：福建莆田青璜中学351111）