学不等式组悟数学思想

学不等式组悟数学思想

米风

江苏省姜堰区娄庄中学

数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，学习数学必须体会数学思想方法，而不等式组中蕴涵着丰富的数学思想，现举例说明，望能对大家有所帮助。

一、数形结合思想

例1．不等式组的解集在数轴上表示为（）

分析：根据不等式组写出其两个不等式的解集，再由数轴上所表示的范围确定不等式组的解集。

解：显然不等式2x＜0的解集是x＜0，不等式2－x≥1的解集是x≤1，故不等式组的解集为x＜0，所以不等式组的解集在数轴上表示正确的是B。

点评：数形结合思想是一种重要的数学思想，在解不等式组的过程中经常体会到它的应用，运用数轴能方便我们找出不等式组的解集。

二、整体思想

例2．已知且1＜x+y≤3，则k的取值范围是_____。

分析：要求k的取值范围，就要根据条件构造出关于k的不等式组，将方程组中两个方程相加后再除以3就得到x+y=2k+1，然后将x+y看成一个整体，整体代入到不等式组1＜x+y≤3中，从而解关于k的不等式组。

解：将方程组中两个方程相加得3x+3y=6k+3，即x+y=2k+1，将其整体代入不等式组1＜x+y≤3中得1＜2k+1≤3，解这个不等式组得0＜k≤1，故填0＜k≤1。

点评：本题两次运用了整体思想，一是将方程组中两个方程相加，二是将2k+1整体代入，这样比解方程组再代入更简捷。

三、分类讨论思想

例3．如果不等式组的解集为x＜－1，那么m=_____。

分析：根据不等式组的解集“小小取小”的确定方法可知不等式组的解集不是x＜3m+2就是x＜4m+1，因为m的值不确定，所以3m+2与4m+1的大小无法比较，所以需从不等式组的解集为x＜－1入手进行分类讨论。

解：若3m+2=－1，则m=－1，4m+1=－3，这时不等式组的解集是x＜－3与题设矛盾，故m≠－1；若4m+1=－1，则m=－，3m+2=，这时不等式组的解集是x＜－1与题设相符，故m=－。

点评：当问题出现多种情况时，应注意进行分类讨论，避免出现错误或漏解。

四、转化思想

例4．若关于x的不等式组无解，求a的取值范围。

分析：先将关于x的不等式组进行化简，再由不等式组无解的条件转化为关于a的不等式，从而再解关于a的不等式，得出a的取值范围。

解：原不等式组可化为，∵不等式组无解，∴a－2≥2a+3，解得a≤－5，即a的取值范围是a≤－5。

点评：根据不等式组的解集“大大小小，矛盾无解”的确定方法将不等式组转化为不等式，然后再解不等式，从而确定a的取值范围，将不等式组转化为不等式或方程组是常常出现的，当然本题也可从反面考虑，先得出不等式组有解时a的取值范围，然后再加以否定得出不等式组无解时a的取值范围，体现逆向思维的思想。

五、方程思想

例5．若关于x的不等式组的解集是1≤x＜2，求（m－n）2。

分析：先解关于x的不等式组，然后对照条件1≤x＜2列出关于m、n的方程组求出m、n后再代入求值。

解：原不等式组可化为，∵关于x的不等式组的解集是1≤x＜2，∴不等式组的解集是。从而有，∴，（m－n）2=16。

点评：方程思想和转化思想常常同时应用。

六、建模思想

例6．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，购买B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元。

（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？

（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？

（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

分析：（1）设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元，根据题意得到关于x、y的方程组，从而求解。

（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50─m）个，根据题意列出不等式组，从而求解。

（3）计算（2）中各种购买方案需要的资金，从而确定最多需要多少资金。

解：（1）设购买一个A种品牌足球的单价为x元，购买一个B种品牌足球的单价为y元，根据题意得方程组，解得，即A种品牌足球的单价为50元，B种品牌足球的单价为80元.

（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50─m）个，根据题意得不等式组，解得25≤m≤27，∵m表示A种品牌足球的个数，∴m为整数，m=25或26或27.故这次学校购买足球有三种方案，方案1：购买A种足球25个，购买B种足球25个；方案2：购买A种足球26个，购买B种足球24个；方案3：购买A种足球27个，购买B种足球23个。

（3）∵第二次购买A种足球的单价为50+4=54元，B种品牌足球的单价为80×90%=72元，∴当购买方案中B种品牌足球最多时，费用最高，即方案1花钱最多，54╳25+72╳25=3150（元），即：学校在第二次购买活动中最多需要资金3150元。

点评：本题主要考查二一元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意建立一元一次不等式组模型是解决本题的关键。