化繁为简、建立模型——求解“追赶小明”中的典型问题

化繁为简、建立模型——求解“追赶小明”中的典型问题

闫雨

广东省深圳市坪山外国语学校 广东省深圳市 518000

摘要：七年级学生在处理行程类应用题时或多或少会觉得力不从心，这是因为他们还没有把模型思想渗透到日常学习中，因此本文着重探究行程问题中的典型例题——通过化繁为简、建立模型的新途径来处理这些问题，从而让学生更快更好地掌握所学新知识．

关键词：行程问题；同向而行；相向而行　

在处理七年级问题前我们先复习一下在小学阶段学习过的公式：速度×时间＝路程，本文内容和它密切相关．

一、抽取例题

北师大版七年级数学上册150页的例题及处理方法如下：

小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000ｍ的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他．

爸爸追上小明用了多长时间？

追上小明时，距离学校还有多远？

分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等．在解决这个问题时，要抓住这个等量关系．

解：（1）设爸爸追上小明用了x min．

根据题意，得

化简，得

因此，爸爸追上小明用了4 min．

（2） （m）

（m）

所以，追上小明时，距离学校还有280ｍ．

变一为二

课本例题是爸爸追赶小明，但在行程类题中还包括爸爸接小明放学的面对面相遇问题，可以把课本例题改为：

（一）同向而行——面对背

例1　小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他．问：爸爸追上小明用了多长时间？

（二）相向而行——面对面

例2　小明每天下午放学要在17:30返回离学校1000m的家．一天，小明以80m/min的速度出发，由于下雨忘带雨伞．于是，爸爸立即以180m/min的速度去迎接小明，并且在途中相遇．问：爸爸和小明相遇用了多长时间？

三、建立模型

（一）同向而行——面对背

把课本所列方程

改一下，

再改一下，

此时方程左边是“速度差”，方程右边是爸爸开始追赶小明时两人相距的路程，结合之前复习的公式：速度×时间＝路程，在此提炼出“同向而行——面对背”的模型和公式如下：

速度差×时间＝相距路程

这个公式和比小学公式多三个字，却可以处理“同向而行——面对背”这一类行程问题．其中“速度差”是快的速度减慢的速度，“相距路程”是行程开始时两人的距离．一般说，在问题中所求未知量是速度和时间，可以在题目中找到，把第三个量设成未知数，就列出方程的左边，下一步只要正确的找出方程右边“相距路程”就迎刃而解了——从而获得了化繁为简求解行程问题的新途径，而在很多题目中往往就是“相距路程”起了干扰作用.

例3　某校七、八年级学生从学校出发步行去研学旅行，七年级学生组成前队，步行速度为４km/h，八年级学生组成后队，步行速度为6 km/h．前队出发１ｈ后，后队才出发，后队追上前队用了多长时间？

分析：此题较简单可直接应用公式：速度差×时间＝相距路程．其中“速度差”是大减小（6－4）km，假设时间为xｈ，方程左边三个量找到，剩下方程右边的“相距路程”，前队七年级先出发１ｈ后八年级才开始追赶，那么“相距路程”就是七年级所走过１ｈ的路程4×1 km．

解：设后队追上前队用了ｘｈ，由题意得：

解之得　　 　

因此，后队追上前队用了２ｈ．

（二）相向而行——面对面

回顾一下例2,

分析：当爸爸和小明相遇时，两人所经历的时间是相同的，两人走过的路程和等于家和学校的距离1000ｍ．在解决这个问题时，要由此出发设未知数和列方程．

解：设爸爸和小明相遇用了x min，

由题意得，　　　

　　解之得， 　　 　 　

因此，爸爸和小明相遇用了 min．

把这里所列方程　

改造后， 　 　

方程左边是“速度和”，方程右边家和学校之间的距离是爸爸和小明的“相距路程”，结合之前复习的公式：速度×时间＝路程，在此提炼出“相向而行——面对面”的模型和公式如下：

速度和×时间＝相距路程

这个公式比小学公式也是多了三个字，却可以处理“相向而行——面对面”这一类行程问题．其中“速度和”是两个速度的和，“相距路程”是行程开始时两人之间的距离．和同向而行一样，只要找出方程右边的“相距路程”，那么类似问题就可以不必再纠结于速度与时间这些量了．

例4　小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑４ｍ，小强每秒跑６ｍ．如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

分析：此题可直接应用“相向而行——面对面”模型和公式，速度和×时间＝相距路程．其中“速度和”是（6＋4）ｍ，假设时间为x秒，方程左边的三个量已经找到，剩下方程右边的“相距路程”，题目给出是百米跑道的两端，那么“相距路程”就是100ｍ．

解：设ｘ秒后两人相遇，由题意得：

解之得　　

因此，10秒后两人相遇．

四、延伸拓展

练习1：甲乙两人骑自行车从相距120km的A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h，问两人出发后，经过多长时间后相距20km？

分析：此题的是模型是“相向而行——面对面”所以应用的公式是：速度和×时间＝相距路程．“速度和”是（7＋5）km/h，时间假设为xｈ，只要找对了“相距路程”这道题就求解出来了，那么“相距路程”是20 km吗？仔细思考一下发现题目虽简单却隐含了两种情况：

（1）甲乙两人在第一次相遇前相距20km；

（2）甲乙两人第一次相遇后又继续向前行走，拉开距离再一次地相距20 km．

　　两种情况对应的“相距路程”分别是（1）（120－20）km，（2）（120＋20）km，找出“相距路程”后，只要应用模型和公式就可以求解这道题．

解：（1）设ｘｈ后甲乙相距20 km，由题意得：

解之得　　

（2）设yｈ后甲乙相距20 km，由题意得：

解之得　　

因此，2.5ｈ或3.5ｈ后甲乙相距20km．

练习2：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35 km/h的速度前进，突然，1号队员以45 km/h的速度独自行进，行进10 km后调转车头，仍以45 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．１号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？

分析：此题的模型是“相向而行——面对面”，所应用公式是

速度和×时间＝相距路程．“速度和”是（35＋45）km/h，设时间为xｈ，分析后发现此时的“相距路程”是1号队员前进和折返时所用的（10＋10） km，知道了“相距路程”是什么后，这道较难的题目就可以解答出来了．

解：设１号队员从离队开始到与队员重新会合经过了ｘｈ，由题意得：

解之得　　　　

因此，１号队员从离队开始到与队员重新会合经过了0.25ｈ．

五、小结

行程问题是七年级的一个难点，如果从小学熟悉的公式出发，

对相关问题进行构建模型和分类讨论，就大大降低了难度，这样既锻炼了学生的思维，又让他们轻松地掌握了新知识，也为今后学习函数和动点的相关知识打下了扎实基础．

参考文献：

[1]刘顿． 你会用公式法解追及问题吗? [Ｊ]． 中学课程辅导(初一版)，2002，(12)：41．

[2]华新． 追及问题的常用解法[Ｊ]． 数学教学通讯，2005，(01):90．

作者简介：闫雨（1986-06），男，汉族，籍贯；广东深圳，当前职务：教师，当前职称：中二，学历：本科