高中数学解题中平面向量方法运用探究

高中数学解题中平面向量方法运用探究

姚萍

四川省凉山彝族自治州甘洛县职业技术学校 616850

摘要：“平面向量”是现在高中数学中重要的一部分内容，有代数和几何两种形式，经常考查与三角函数、解析几何等的综合解题能力，每年高考都有涉及，题型主要是选择和填空。平面向量这一部分主要考查学生对概念的掌握、向量的运算、其几何意义等。本文中笔者主要结合高中数学的平面几何、三角函数以及不等式等教学内容，对向量方法在高中数学解题中的应用展开分析。

关键词：高中数学；向量分析；解题

1.高中数学解题中向量方法的应用

向量方法具有数与性的特点，能够帮助学生理解和解决平面图形与空间图形的位置关系和数量关系，使得几何与代数的运算过程简单化，最终降低数学问题的难度。那么我们该采取何种方式才能有效引导学生应用向量方法来解答数学问题呢？笔者现在就试着从数学问题的角度进行简要分析：

1.1如何应用向量方法解决三角函数问题

数学三角函数属于高中数学的重点内容，如何将三角函数问题简单化，引导学生发散思维去思考问题，需要数学老师采用合理的教学方法。其中，空间向量方法在数学三角函数问题中的应用具有一定的意义。首先，老师可以引导学生应用空间向量方法将三角函数问题简单化；然后，利用空间向量的直观性来研究三角函数问题的规律及特点，这有利于降低问题的难度，从而提升学生的解题效率。

我们以下面三角函数问题为例，如何推导和证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ？在这个题目中，如果学生不懂得应用向量方法来解决问题，势必会耗费很长的时间去解答题目。所以，对于此类三角函数的证明题，我们可以应用向量方法来进行解答。比如说，学生可以利用向量的有关知识对题目进行假设，如假设平面上有a、b单位向量，而平面中（e1，e2）为标准正交基，其中a和e1的夹角是α，b与e2的夹角是β，条件α>β；因为向量a在（e1，e2）的坐标是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）的坐标是（cosβ，sinβ），那么我们可以利用向量数量积的定义，得到a·b=|a|·|b|cos（α-β）得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。又如，利用向量差的模来证明余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，由此可见，在分析一些三角函数证明题的时候，我们先思考问题的性质及特点，思考是否可以利用向量方法来解答问题，从而实现解题思路的合理转换，进而缩短解题时间、提升解题的效率。

1.2如何应用向量方法来解决实际的平面几何问题

对于高中生来说，平面几何问题属于难点学习内容，很多学生都遇到了不同程度的几何学习问题。同时，在一些考试过程中，大部分学生都选择放弃作答相关的几何问题。这些现象出现的原因主要还是学生没有找到正确的解题思路，不断徘徊在问题的边缘；而对于一些平面几何问题，我们可以应用向量方法来进行解决。向量方法可以使得部分平面几何问题简单化，有助于将抽象的几何问题变得更加直观，使得学生可以尽快找到问题的本质，并有效地解答问题。

比如说在求三角形边的问题时，我们就可以应用相关的向量知识进行问题的解答。假设在△ABC中，其三个角对应边长分别为a、b、c，如果b=2，c=1，A=45°，D是BC的中点，那么三角形中线AD的长度是多少？这时我们可以应用向量的运算及有形的特点，对三角形的边进行分析，如利用向量分析AB与AC的关系，进而得到AD的长度，以将复杂的几何问题转化为直观的数学现象，有利于得到问题解决的答案，又如用平行向量解决平面几何中的三点共线问题等等。

1.3如何应用向量方法解决不等式问题

不等式问题也属于高中阶段数学课程的重点及难点问题，综合考验了学生对数学知识点的运用和综合分析能力；而在部分的不等式问题中，向量方法的应用也具有一定的作用，也可以帮助学生尽快找到问题的答案。但是，在应用向量方法解决不等式问题时，我们应该学会分析和归纳题目的条件，考虑可以应用哪些向量性质来处理问题，这样才能达到事半功倍的解题效果。

比如，在一些不等式问题的求证中，我们也主要是利用向量的数量积性质来进行相关结果的求证，如a·b≤|a|·|b|这个公式普遍应用于不等式问题的解决；如证明柯西不等式x1x2+y1y2≤（x12+y12）（x22+y22），又如利用向量和、差的几何意义容易证明三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。通過合理引导学生利用向量数量积的性质来证明相关的不等式问题，可以使得不等式问题更加清晰明了，有助于学生快速找到解题的思路，进而提升解题的效率。

2.向量在解方程中的应用

向量知识对于高中数学中的很多章节而言，都具有積极意义，教师应当重视学生利用向量解决数学问题的能力，引导学生提高自身的综合能力。教师可以在教学中打破按章节教学的传统教学模式，利用向量将各个章节结合起来，向量能起到工具作用，促进学生自我学习能力的提升。向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是高中数学章节之间的过渡知识，已经成为高中数学教学的媒介内容。

例如，已知2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2+15y+3z=82两个公式都成立，求实数x、y、z的值。传统教学模式中会采用方程解析的解题方式，对于学生来说解题过程有一定的难度，如果利用向量知识解答，能够简化解题步骤，也更便于学生的理解和掌握。首先可以将2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2+15y+3z=82相加，通过配方可以得出（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108；这个方程式能够运用向量知识解析，通过设向量P（2x，3y+3，z+2），Q（1，1，1），通过计算，得出当2x=3y+3=z+2>0，这两个公式才能成立，依据这些条件，最终得出方程的答案。向量能够解答很多变形过程复杂的方程题，提高学生的解体效率，并进一步锻炼学生运用多种技巧解答问题的能力。

3.向量在不等式证明中的应用

部分不等式证明如果不进行变形处理，解答会遇到困难。如果教师按照传统解题方式让学生解答，会耗费学生大量时间，让学生非常困惑。如果引入向量知识，不等式的变形会更易于处理，能简化解题步骤，更容易得出结论。某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式较难解决，也可以根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明。

例如，当m，n都不为0，且符合（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，如何证明a/m=b/n？教师可以引导学生细心观察，让学生发现这个等式括号内的部分与向量模和数量积相同，利用平面向量知识，设P为（a，b），Q为（m，n），根据平面向量的特点，得出P与Q之间是平行关系，最终能变换成为a/m=b/n，将抽象的等式转换为具象向量，最终得出结果。由此可以证明，向量能够将抽象性的问题转换为直观的具象模型，从而让学生更容易理解题干内容，从而提高解决问题的效率。向量在高中数学中应用范围较为广泛，实用性和很强。

4.向量在平面几何中的应用

利用向量知识解决平面几何的问题，比用几何知识解答要更加高效和便捷，也更利于学生理解。例如，已知三角形ABC的三点坐标为A（-3，1）、B（2，0）、C（0，-2），求AB、BC、CA三个线段的中点E、F、G，求相关直线EF、FG、GE的方程。利用传统解答办法很难解答，利用向量知识，设E（1，-1）、F（-1.5，-0.5）、G（-0.5，0.5），再利用向量解直线方程即可。需要注意的是，在求解的过程中要将点、线段之间的关系整理清楚，以免产生错误，影响最终答案。通过举例能够看出，将向量作为解答平面几何问题的工具，能够将其模式化，并让学生在思考研究中总结出向量知识的规律，从而更加方便的解决不少实际问题。总而言之，让学生熟练使用向量知识解决问题，能培养学生的思维能力和应用能力，对学生掌握高中数学知识点、培养综合数学能力具有重要意义。

结束语

综上所述，向量方法可以解答不同类型的数学问题，使得数学问题更加简单化，也能够指导学生有逻辑地处理实际的数学问题，这对提高学生的逻辑思维、提升学生的问题推理能力都起到一定的帮助作用。

参考文献

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