渗透数学建模教学思想，提高学生解决实际问题能力

渗透数学建模教学思想，提高学生解决实际问题能力

陶俊

安徽省铜陵市义安区教育体育局教研室 244100

摘要：数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,它可以有效地描述自然现象和社会现象。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。本文阐述初中数学教学要渗透建摸思想，要以教材为载体、挖掘教材、归纳总结教材中的数学模型，提高学生解决实际问题的能力。

关键词：数学；建模；渗透；能力

数学课程标准指出：数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学课程应体现“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展”，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型，估计，求解验证解的正确性和合理性的过程，从而体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用知识的意识，培养运用代数知识与方法解决问题的能力。

对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题转化成一个数学问题，这就称为数学模型．

数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程．从广义来说，数学建模伴随着数学学习的全过程．数学概念、数学法则、数学方法的学习与应用都属于数学建模的范畴．

初中学生的数学知识有限，在初中阶段数学教学中渗透数学建模思想，应以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生用数学建模意识以及分析和解决实际问题的能力。下面结合几年来的教学体会谈谈如何在初中数学教学中渗

透数学建模思想，提高学生解决实际问题的能力。

1. 以教材为载体，向学生渗透建模教学思想

过去数学建模只作为高等院校数学专业和部分计算机专业的课程．初中数学建模教学和高校的数学建模教学有很大的不同，初中数学建模教学一般先提出问题、引入正题；然后分析问题，在“引导——探索——创造” 中建立模型，最

后利用模型解决问题．在现行的义务教育课程标准实验教科书教材中，时常能遇到一些创设有关知识情境的问题，这些问题大多数可以结合数学思想、数学方法进行教学。在这个教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。

例如: 销售中的盈亏问题的建模教学

1、背景问题

某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? （人教版数学七年级上册）

2、数学建模

（1）问题分析

①假设一件衣服的进价是 元，以60元卖出，卖出后盈利25%，那么这件衣服的利润是多少元？

②假设一件衣服的进价是 元，以60元卖出，卖出后亏损25%，那么这件衣服的利润是多少元？

（2）模型建立

问题1 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是盈利的？

归纳 盈利：销售价＞进价

问题2 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是亏损的？

归纳 亏损：销售价＜进价

问题3 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时不亏不盈?

归纳 不盈不亏：销售价＝进价

问题4 你发现利润、销售价、进价之间有怎样的关系？

归纳 利润＝销售价－进价

问题5 你发现利润、进价、利润率之间有怎样的关系？

归纳 利润＝进价×利润率

问题6 你发现销售价、进价、利润率之间有怎样的关系？

归纳 销售价－进价＝进价×利润率

（3）模型求解

设盈利25%的那件衣服的进价是 元，那么它的利润就是 元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程 ，解得 ．

设亏损25%的那件衣服的进价是 元，那么它的利润就是 元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程 ，解得 ．

于是 ＝48＋80＝128＞120，所以卖出这两件衣服总的是盈利的．

利用课本知识的教学，在学生学习知识的过程中渗透数学建模教学思想，能够使学生初步体会数学建模教学思想，了解数学建模的一般步骤，进而培养学生用数学建模的思想来处理实际中的某些问题，提高解决这些问题的能力，促进数学素质的提高。

二、挖掘教材、强化数学建模意识

数学教育学家弗赖登塔尔说“数学是现实的，学生从生活中学习数学，再把学的数学用到现实生活中。”在数学的教学活动中。我们若能挖掘教材，找出具有典型意义，能激发学生兴趣的生活问题，创设问题情景，充分展现数学的应用价值，就能激发学生的求知欲.

从广义讲，一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学专家从现实生活实践中总结出来的数学模型,可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的教材，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。接下来从一个具体的问题出发探讨一下初中数学教学中一个值得采用的启发式教学方法----条形图模型。

1、背景问题

例1：小明和小刚共有苹果若干，小明的苹果数是小刚的5倍。若小明给小刚36个苹果，他们两人的苹果就一样多，间他们共有多少个苹果？

这一问题可用列二元一次方程组求解，若令x和y分别为小明和小刚原有的苹果数，那么x和y满足下面的二元一次方程组： ，容易解得，x＝90，y＝18，从而x+y＝108，即小明和小刚共有苹果108个。

2、数学建模

这一问题也可用条形图模型求解如下：将小刚原有的苹果数视为一个单位，那么由题意知，小明原有的苹果数为5个单位，由此得到模型：

2个单位→36，6个单位→36÷2×6＝108。所以小明和小刚共有108个苹果。

可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然，然后的求解过程只涉及简单的加减乘除运算（而不是解方程或方程组）。

3、模型应用

1、某中学 的学生是女生，其余是男生。其中 的女生， 的男生参加了校运动会。如果此中学共有570名学生没有参加校运动会，问学校共有多少学生？

2、4月份小王与小李在银行的储蓄额是3:5，到了6月份小王的储蓄额增加了28元，而小李的储蓄额却减少了14元，结果他们两位的储蓄额正好相等，问小李4月份的储蓄额是多少？

对于某些实际问题，可以通过建立合理的数学模型作为桥梁来解决，对于相同类型的问题，采用相同的数学模型，使学生的思维过程形象化、公式化。这样，学生学起来不感到抽象、难懂，并能增强记忆和理解，容易被学生所接受。

三、总结、归纳教材中的数学模型,提高解决问题能力

1、向量的模型

现实生活中存在着很多既有大小又有方向的量如：速度、重力、位移等，通常需要建立向量的模型来解决.

2、函数模型

当涉及到总运费最少或利润最大等决策性问题时，可通过建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用函数的相关知识来解决.

3、直角三角形模型

当涉及测量高度、测量距离、航海、拦水坝等应用型问题时，可考虑建立直角三角形的模型，利用直角三角形的知识使问题获得解决.

4、方程（组）模型

现实生活中广泛地存在等量关系，如利息和税率、百分比、工程施工、行程问题等，通常都需要建立方程（组）的模型来解决问题.

5、不等式（组）模型

生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）的模型来解决.

6、几何模型

生活中诸如边角余料加工、拱桥计算、修复残破轮片等问题，涉及应用一定几何图形的性质需建立几何模型，用几何知识加以解决.

数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。教师在数学建模教学中,不断归纳、总结各类模型,使学生的思维过程形象化、公式化,达到提高解决实际问题的能力。

总之，数学建模能力的培养不在于某堂课或某几堂课,而应渗透于学生的整个学习过程,并激发学生的潜能,使他们能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法,真正提高数学能力与学习数学的能力. 数学应用与数学建模,其目的不是为了扩充学的课外知识,也不是为解决几个具体问题进行操作,而是要通过教师培养学生的意识,教会学生方法,让学生自己去探索､研究､创新,从而提高学生解决问题的能力,让数学进入生活,让生活走进数学.