可靠的向量助解

可靠的向量助解

张汉阳　　 李东方

广州工商学院会计系　　 广州工商学院基础教学部　　 （广东 佛山 三水 528138）

摘要：向量是高等数学中基本的组成部分，向量应用是数学方法中重要的思想。学会向量的灵活应用，对于我们高等数学乃至数学其他方法的学习有重要作用。向量可以用有向线段来表示，又可以用空间图形来表示，它具有代数的特点，又具有几何的特点，因此，向量又是是联系形与数的桥梁，有些问题可以通过向量来化繁从简，巧妙求解，以此达到解题的目的。同时向量作为数学工具，通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高等数学及其他数学奠定基础。本文将从向量的乘积及其在平面应用，空间应用方面入手提出自我看法。

关键词：向量 向量乘积 向量与方程 空间向量 向量应用

1. 向量的概念

1.两向量的数量积：两个非零向量 和 的模与他们之间夹角的余弦之积，称为向量 与 的数量积，记· ，即· =| || |cosθ（θ是 与 的夹角）

力学意义:一物体在F的作用下，沿直线AB移动了s,F与AB的夹脚为θ，则力对物体做的功为W=|F||S|cosθ

性质：⑴ · =| | ²；⑵向量 ⊥ 的充分必要条件是 · =0；

3. cosθ= · ╱| || |（θ为向量 ， 的夹角）

2. 两向量的向量积：向量 的向量积为 = ， （其中

为 的夹角）， 的方向既垂直于 ，又垂直于 ，指向符合右手系。

性质：（1）· = ； （2） ，（ ）

3.向量的混合积：设已知三个向量 、 、 ，数量( ) 称为这三个向量的混合积,记[].它的几何意义是： 如果混合积[]不等于零，则以向量 、 、 为棱构成的的平行六面体的体积。

二.运用向量知识解决空间及其平面问题

1.有关空间曲面及其方程的问题

空间曲面方程也跟向量的其他运算大同小异，空间曲面的方程也要求我们熟练空间曲面参数方程，空间曲面在坐标投影，以及各类曲面的学习。对于空间曲面及其方程，我认为由于向量有着沟通数形转化的功能，因此对于我们自身数形结合能力有所要求。所以，我们解答此类题型需要通过图形与向量联系起来，构成关联体。

2.对于曲面偏导数是曲面法向量的自我见解

三维中的空间曲面变成二维就是平面曲线，偏导数代表了平面的法向量如平面1x+2y+3z=0，其法向量（1，2，3），举个例子：对于平面曲线C:F(x,y)=0,向量J=(Fx,Fy)就是它的法向量，所以任意参数曲线A(k)=(x(k),y(k))，它的切向量是K= =(x ,y )假设A(k)的轨迹和曲线C重合，那么有F(A(k))=0，可得Fx +Fy =0，这时是J和K的积为0，所以J是法向量。所以说曲面的偏导数是曲面的法向量是正确的。

三.向量的应用

1利用数量积求两个向量之间的夹角；

2.利用向量积的模求平行四边形的面积；

3.利用混合积求平行六面体的体积；

4.利用数量积求向量投影，求平面的点法式方程；

以上这四点的应用是高等数学中，经常遇到的在此我们就不多说了，有兴趣的读者可查阅^[4]

5.向量在立体几何中的应用中，对于立体几何来说掌握解题技巧很重要，而擅于运用向量代入立体几何中，通过向量的运算简化立体几何复杂的证明过程是不错的方法。其次在解析几何中的应用也效果显著，比如求圆的切线方程一类等。然后向量在三角形中对三角函数的应用，也就是说三角函数线其实就是平面向量。

6.向量在代数中的应用

向量在代数中的应用，是需要我们熟悉向量的三角函数关系来帮助我们解答疑。例如向量 与 之间 他为两个向量之间的夹角，向量 同向或者平行时有不同的情况（相等或者不相等），若向量 两个向量相加，当向量方向相同（不同）时 向量不等式右边（左边）相等。5.总结：无论是向量的基础题型还是向量的多变应用，它始终都是围绕其基础性质展开讨论，灵活运用，便能让我们在数形转化的题型游刃有余。然而这也是一个 难点，要多进行复习才能为我所用。

参考文献：

[1]薛彬.体现几何、代数融合 提升直观想象、数学运算素养——《普通高中教科书·数学(人教A版)》必修第六章“平面向量及其应用”的教材设计与教学思考[J].中学数学教学参考,2020(07):11-14.

[2]周薛雪,蔚涛.线性代数中特征值与特征向量的应用案例教学研究[J].教育教学论坛,2020(02):237-238.

[3]张明.《线性代数》中“特征值与特征向量”的教学创新探析[J].创新创业理论研究与实践,2019,2(21):36-37+42.

. [4]刘开宇，周利彪.高等数学多元微积分学[M].北京：科学出版社.2007