培养创新能力 落实立德树人—— HPM视角下《等比数列的前 项和公式》教学设计

培养创新能力 落实立德树人—— HPM视角下《等比数列的前 项和公式》教学设计

康永红

甘肃省岷县第二中学 748400

摘要 ： 《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学不但承载着人类的思想和文化，还是人类文明不可缺失的重要组成部分。数学的学科性质决定了它在人理性思维的形成、科学精神培养和智力发展的过程中具有独特的作用。数学素养也是我们每个公民必须具备的素养，通过学习数学可以促进学生全面发展，提升数学素养，培育学生创新精神。能够完成落实立德树人根本任务中数学学科应该承担的任务。

关键词： 创新能力； 知识拓展； 立德树人；

一、理论基础

王海燕老师在《中学数学核心素养培养方略》中指出，中学生的创新能力往往表现在以下几个方面：（1）能够提出新颖、独到、更为简洁合理的解题方法。（2）能够使用类比或推理的方法对某些定理和公式已有的结论进行深化和延伸。（3）能够把在某些定理和公式，通过对已知条件的改变或对已知条件和结论之间的联系进行重组，从而得到新的命题。要实现创新，学生不但要具有发现和提出问题的能力；还需要锲而不舍、勇于探索的精神。发现学习法是培养学生创新能力不可缺少的学习方法，它有利于学生更好地理解和掌握数学知识，激活和发展学生的数学思维素养，从而实现创新目标。

二、案例实施

（一）情景引入

消费行为与我们每一个人的生活息息相关。很多商家为了吸引顾客消费，特别推出一些促销活动，比如我们常见的“0首付购手机”。这样的活动，让我们因家长不支持买手机的部分同学蠢蠢欲动，想通过分期付的方式拥有自己的一部手机。经过了解，有一家手机经销店推出“0首付购手机”活动，现有一款价值2000元的手机可以参加“0首付购手机”活动，他们规定的还款有两种方案：

方案1：购机后第二个月开始还款，第一次还款300元，以后每月还款额比前一月多50元，分6个月还清。

方案2：购机后第二个月开始还款，以月利率为3%，每月以复利计算，分6个月还清。

问题：如果是你，你会选择哪种还款方案，可以分组讨论一下？

（二）探究发现

问题：已知 是一个等比数列，其首项为 ，公比为 ，求数列 的前 项和 .请同学们先写出 .

生：

师：通过分析我们发现等比数列的求和公式中有三个未知量 、 、 .我们要求得 只需要求出 ,然后再乘以 就可以得到 .问题转化为如何求得 ？

我们不难发现，当 时 ；那么当 时会有什么样的结果？

下面请同学们完成下列表格，观察这些数字的特点。

利用投影设备展示学生完成情况，分别给出 的值，引导发现规律：

1.当 时： ， ， ，……，

2.当 时： ， ， ，……，

3.当 时： ， ， ，……，

问题：以上 的式子中的分母与数列的那个量有关？什么关系？分子与数列的那些量有关？什么关系？

生：分母与数列的公比有关，为 ；分子与公比 和项数 有关，为 。

师：我们通过这几个特例可以猜想出 的结果吗？

生：当 时， ；当 时，

师：很好，我们有了这个结果就能得到等比数列的前 项和公式：

当 时， 或 ；当 时 .

师：当 时， 是显然成立的；当 时，前面我们只是利用三个特殊值的公比归纳出来的这个公式，我们如何证明它呢？

（三）公式证明

1.提因式法2.掐头去尾法3.错位相减法

（四）知识拓展

1．瑞士数学家欧拉的故事

欧拉（L.Euler,1707—1783），他在花甲之年双目失明，但是上帝对他的惩罚还没有结束，更加的不幸还是落在他的头上。1771年彼得堡燃气了一场大火，当年64岁的欧拉已经双目失明，大火并没有可怜这位双目失明的老人，将他围困在住宅中。是一位工人冒着生命危险挽救了他的生命，但他大量的研究成果都被烧毁。悲惨的遭遇没有让他停止工作，凭着惊人的记忆和心算在黑暗中继续着他的研究，他发誓要把损失夺回来。于是口述著书，直到生命的最后一刻，欧拉在失明后的论文就有400篇左右，他为后人留下空前丰富的科学遗产。

2．等比数列前 项和的发展过程简介

从约公元前3000年，巴比伦人总结出了数列 的求和公式，到《莱茵德纸草书》中记载的等比数列 的求和思想的出现，虽然经历了非常漫长的过程，但也只是对一些特殊的简单等比数列求和的研究。直到公元前3世纪，《几何原本》中古希腊数学家欧几里得给出的使用比例性质推导求和公式的出现，才为以后的推导证明提供了思路。

（五）课后知识拓展

查阅利用“等比定律”和几何作图证明法的相关资料，了解思想方法。

三、案例分析

本案例主要是把将数学史融入课堂的教学方法进行设计。在引入环节，没有采用数学中的历史命题，而是采用学生身边的一些问题创设情景。设计了一个开放性问题，学生可以根据自己实际进行回答，但大部分学生选择以总成本的多还来选择方案，能够及时的引出等比数列的求和公式问题。这样的设计也让学生更容易感受数学是来源与生活，数学的科学方法可以帮助人决策，提高学生的学习兴趣。提出问题之后，让学生从问题中抽象出数学模型培养了学生数学抽象的素养。解决这一问题，为学生提了供动手解决问题的机会，培养学生动手能力，积累基本活动经验。从学生表现来看，各显神通，分工合作、计算器的使用、独自埋头苦算，全部学生都能参与到课堂教学活动中来。

综上所述，本案例的设计主要从课堂教学环节入手，充分利用数学史的教育价值，基本能实现培养学生的创新能力，在落实立德树人根本任务的复杂工作中完成了一些很小的目标，但我相信将数学史融入课堂的教学方式一定会成为培养学生创新能力落实立德树人根本任务的一条有效途径。

参考文献

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]国务院.国家教育事业发展“十三五”规划[Z].2017-01-10.

[3]蒋海燕.中学数学核心素养培养方略[M].济南：山东人民出版社，2017.