培养数学抽象 践行核心素养

培养数学抽象 践行核心素养

赵红顺

濮阳市第一高级中学

数学抽象是数学最基本的思维方式之一，是以具体事物为载体，通过观察，分析，抽象出事物的本质因素，从事物的数量关系与空间关系来考虑事物的一种数学研究方法，并在一定程度上体现了事物的本质特征[1]。它具有重要的学科价值和教育价值。数学抽象的过程是有层次性的，根据史宁中校长的研究[2]，可分为以下三个层次：简约阶段，符号阶段，普适阶段。简约阶段的数学抽象体现为把握事物本质，体现将复杂的问题简单化。符号阶段的数学抽象强调去除具体的内容，利用数学概念，图形，符号来表达简约化了的关系，符号描述意味着数学抽象走出了所举的事例，进入了概括总结的阶段。普适阶段的数学抽象强调建立数学法则，或者建立数学模式或模型，以形成一般意义上的结论，并用于更广泛的范围以节食事实。数学抽象是一种基本的数学素养，我们应该喜欢抽象，并学会抽象的手段。

1. 四色问题 践行数学抽象

四色问题又称四色猜想，四色定理是世界近代三大数学难题之一。

相传四色问题是一名英国绘图员提出来的，此人叫格思里。1852年他在绘制英国地图的发现如果给相邻地区涂上不同颜色，那么只要四种颜色就足够了。（需要注意的是任何两个国家之间如果有边界，那么其边界不能只是一个点，否则四种颜色就可能不够）。格思里把这个猜想告诉了正在念大学的弟弟。弟弟认真思考了这个问题结果，既不能证明也没有找到反例，于是向自己的老师、著名数学家德·摩根请教。我们可以将四色问题的内容表述为“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”。用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字（这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的，如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的）

2003年全国卷理科15题：如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_______种。（以数字作答）

有了数学抽象的引导，同学们很快将问题数学化（简化为规则图形）然后寻找不同的分类和分布标准。得出答案：72。还有同学运用图论思想将趋于对应为点，区域的相邻关系对应为两点的连线；如图，即模型转为模式结构图，这也是数学抽象的应用.

2. 数学抽象在数学文化高考试题中的实践

近几年的高考数学命题正在实现从能力立意到素养导向的转变，注重情境化试题的考查，以数学文化为载体，以核心素养考查为导向，既考查了学生灵活运用所学知识分析问题，解决问题的能力，又能在提高学生数学文化，审美的同时，培 养学生的数学学科素养。比如：2019年新课标I卷第4题：维纳斯与黄金分割，其中就蕴含了数学抽象与数学运算素养的考查。试题呈现如下：古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

本题首先将维纳斯抽象为某人，有奖某人抽象为一条线段，将实际问题抽象为通过黄金分割比例计算的线段之间的比例问题。接下来还考查了数学运算，估算。

解：设头顶，咽喉，肚脐，足底分别对应为点A,B,C,D.假设某人身高为 。由题意知 即

解得

，所以 ，选B

不少同学认为这道题考的云里雾里，不知所云，抓不住出题老师到底考查什么知识点，部分同学对这个具体情境还算熟悉，但不能将之抽象为一个数学问题，始终受到文字信息的干扰。这都是数学抽象素养的缺失。所以现在的高中数学教育要以核心素养为导向，培养学生数学学科素养。

三．数学抽象在一类圆锥曲线直线过定点问题中的实践

1 .试题呈现：已知椭圆 的左顶点为A，M,N是椭圆 上异于A的两点，且 ，判断直线MN是否过一定点。若过定点，求出此定点坐标，若不过定点，请说明理由。

2.试题解析：由对称性猜想，若直线MN恒过定点，则定点一定在 轴上。找特殊情况：MN无斜率时， ， 的方程为： 代入 中得 ，则 ， ，同理 ，则 ，则MN过 。下面再证明MN恒定点 。

设 和 联立得：

则 ，

将 代入可得：

解得： ，

则直线 为 。又 MN不过点A 舍

直线过定点

综上所述：直线MN恒过定点

本题具有很好的探究价值，教学时不应只停留在题目的解答上，而应进一步挖掘深层次的数学内涵，笔者思考可否通过一般化把椭圆方程变为

引导学生探索，揭示数学本质，培养学生数学抽象的素养

3. 数学抽象，化特殊为一般：

已知椭圆 的左顶点为A，M,N是椭圆 上异于A的两点，且 ，判断直线MN是否过一定点。若过定点，求出此定点 坐标，若不过定点，请说明理由。

解析：由对称性猜想，若直线MN恒过定点，则定点一定在 轴上。找特殊情况：MN无斜率时， ， 的方程为： 代入 中得 ，则 ， ，

同理 ，则 ，则MN过 。下面再证明MN恒定点 。

设 和 联立得：

则 ，

将 代入可得：

解得： ，

则直线 为 。

又 MN不过点A 舍

直线过定点

综上所述：直线MN恒过定点

根据上述推导，还可以类似的得到：若A为椭圆C的右顶点，直线MN过 轴上定点 ；若A为椭圆C的上顶点，直线MN过 轴上定点 ；若A为椭圆C的下顶点，直线MN过 轴上定点 。其实A可以推广到椭圆上任意一点。

另外，由 得 ，即 ，即 ，于是产生了一个新的问题：若点 是椭圆 上任意一点，M,N是椭圆 上异于A的两点，且 ，直线MN是否过定点。若过定点，求出此定点坐标。

MN过定点 过程略

对于双曲线和抛物线也可得出类似结论，在此就不赘述了，以上结论，从特殊到一般，层层深入，不断揭示数学本质，形成一般结论，学生在探究的过程中数学抽象的能力得到提升。

总之，数学抽象是数学教学中经常性的，普遍性的思维活动，在学习过程中，师生无时无刻不在实践数学抽象，通过本文希望大家体会到抽象是数学的利器，优势，。我们应由此喜爱抽象，并学会抽象的手段，学会数学的思考问题，掌握数学方法，使用数学语言，理解数学思想，提高数学学科核心素养。

参考文献：

1. 李昌官.数学抽象及其教学[J].数学教育学报，2017,26

2. 史宁中.数学思想概论------第1辑数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2015

说明：本文系濮阳市基础教育教学研究项目《基于核心素养的高中数学必修课程教学设计研究》的研究成果。课题编号：【PJCJY2020035】